2.3距离空间的可分性与完备性.ppt

第 1 页 第二节 距离空间的可分性与完备性 ? 距离空间的可分性 ? 有理数在实数集中的稠密性 ? 距离空间的完备性 ? 实数的完备性 ? 一般距离空间的完备化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 2 页 已知：在实直线上， 存在一个处处稠密的可数子集 Q , 且成立完备性定理（即柯西收敛原理 ) 。 问题：在一般的距离空间中，是否存在一个处处稠密 的可数子集？完备性定理是否总成立？ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 3 页 一、距离空间的可分性 1. 距离空间中的稠密子集 定义 1 （稠密性 ) 设 X 是距离空间， A ? X , B ? X . (1) B 在 A 中稠密 , 若对于 ? x ? A , ? { x n } ? B , 使 x n ? x ( n ?? ) (2) B 在 X 中处处稠密 ( 或 B 是 X 的一个稠密子集 ), 若对于 ? x ? X , ? { x n } ? B , 使 x n ? x ( n ?? ). 注 : 1) B 在 A 中稠密 ? ? x ? A , ? ? 0, S ( x , ? ) 内含有 B 中的点 ? ? x ? A , 有 x ? B 或 x ? B ′ ? A ? B 2) B 在 X 中稠密 ? ? x ? X , ? ? 0, S ( x , ? ) 内含有 B 中的点 ? ? x ? X , 有 x ? B 或 x ? B ′ ? X ? B ? B = X 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 4 页 例 1 有理数集在 R 中处处稠密 . 例 2 R n 中的有理点集在 R n 中稠密可数 . 例 3 多项式集合 P 在 C [ a,b ] ? L p [ a,b ] 中处处稠密 . ( 魏尔斯特拉斯一致逼近定理 : ? x ( t ) ? C [ a,b ], ? { p n ( t )} ? P , 使 p n ( t ) ? x ( t )( n ?? ), 即 p n ( t ) 按 C [ a,b ] 中的距离收敛于 x ( t ).) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 5 页 例 4 [ a,b ] 上的有界可测函数集合 B [ a,b ] 在 L p [ a,b ]( p ? 1 ) 中处处稠密 . 证 : ? x (t) ? L p [ a,b ], 定义函数列 ? x n ( t ) ( n =1,2,…) 是 [ a,b ] 上的有界可测函数 , 且有 x ( t ) ? L p [ a,b ] ? ? x ( t ) ? p ? L 1 [ a,b ] ??? 0, ?? 0, 使当 E 0 ? E =[ a,b ], m ( E 0 ) ? 时 , 有 (L 积分的绝对连续性 ) ?? N , 当 n N 时 , m ( E ( ? x ? n )) ? ? x n ? x ( n ?? ) ? B [ a,b ] 在 L p [ a,b ] 中稠密 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 6 页 例 5 [ a,b ] 上的连续函数集合 C [ a,b ] 按 L p [ a,b ] 中的距离在 L p [ a,b ] 中处处稠密 . 证 : 由上例知 B [ a,b ] 在 L p [ a,b ] 中稠密 , 只要证明按 L p [ a,b ] 中的距离 C [ a,b ] 在 B [ a,b ] 中稠密即可 . ? x ( t ) ? B [ a,b ], ? x ( t ) ?? K . ??? 0, ?? =( ? /2 K ) p , ? y ( t ) ? C [ a,b ] 使得 m ( E ( x ( t ) ? y ( t ))) ? ( 由鲁金定理 ) 不妨设 ? y ( t ) ?? K , E 0 = E ( x ( t ) ? y ( t )) ? ( x,y ) ? ? C [ a,b ] 在 B [ a,b ] ? L p [ a,b ] 中稠密 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第 7 页 2. 距离空间的可分性 定义 2 ( 可分距离空间 ) 设 X 是距离空间 . X 是可分距离空间 , 若 X 中存在一 个处处稠密且可数的子集 . 注 : 1) A ? X 是可分集 ? 存在稠密点列 { x n } ? A X 是可分距离空间 ? 存在稠密点列 { x n } ? X 2) X 不可分 ? X 中没有任何处处稠密的可数子集 。 例 1 R 是可分的 . ( 有理数集在 R 中处处稠密、可数 ) 例 2 R n 是可分的