2.3拉普拉斯展开定理.ppt

§ 2.3 拉普拉斯展开定理 一、 k 阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例 一、 k 阶子式的概念 定义 在 n 阶行列式 D 中，任取 k 行 k 列 ( 1 ? k ? n ) ， 位于这 k 行 k 列的交点上的 k 个元素按原来的相对位 置组成的 k 阶行列式 S ，称为 D 的一个 k 阶子式。 在行列式 D 中划去 S 所在的 k 行 k 列，余下的元素按 原来的相对位置组成的 n ? k 阶行列式 M 成为 S 的余子式。 2 设 S 的各行位于 D 中第 i 1 , i 2 , ? , i k ( i 1 ? i 2 ? ? ? i k ) ， S 的各列位于 D 中第 j 1 , j 2 , ? , j k ( j 1 ? j 2 ? ? ? j k ) ，那么称 A ? ( ? 1 ) ( i 1 ? i 2 ? ? ? i k ) ? ( j 1 ? j 2 ? ? ? j k ) M 为 S 的代数余子式。 二、拉普拉斯展开定理 若在行列式 D 中任意取定 k 个行 ( 1 ? k ? n ? 1 ) ， 则有这 k 个行组成的所有 k 阶子式与它们的代数余 子式的乘积之和等于 D . 设 D 的某 k 行组成的所有 k 阶子式分别为 S 1 , S 2 , ? , S t ( t ? C ) ， 它们相应的代数余子式 分别为 A 1 , A 2 , ? , A t , 则 D ? S 1 A 1 ? S 2 A 2 ? ? ? A t S t 。 k n 例 1 计算 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 D ? 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 利用拉普拉斯定理（ P68 ）可得： a 11 ? a 1 k ? ? 0 b 11 ? b 1 n ? ? b n 1 ? b nn a k 1 ? a kk 设 D ? c 11 ? c 1 k ? ? c n 1 ? c nk b 11 ? b 1 n a 11 ? a 1 k ? , D 1 ? det( a ij ) ? ? ? , D 2 ? det( b ij ) ? ? b n 1 ? b nn a k 1 ? a kk 证明 D ? D 1 D 2 . 分块对角阵的行列式 设 A 为 n 阶矩阵 , 若 A 的分块矩阵只有在主对 角线上有非零子块 , 其余子块都为零矩阵 , 且非 零子块都是方阵 . 即 ? A 1 ? ? ? O A 2 ? ? A ? ? , ? ? O ? ? ? ? A s ? ? 其中 A i ( i =1 , 2 , … , s) 都是方阵 , 则 A 为分块对 角阵 .