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§ 1.1 变化率与导数 佛山一中 李维 本章导引 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在 数学中引入了 函数 ，随着对函数的研究，产生了 微积分 ， 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数 , 求物体 在任意时刻的速度与加速度等 ; 二、求曲线的切线 ; 三、求已知函数的最大值与最小值 ; 四、求长度、面积、体积和重心等。 本章导引 导数 是微积分的 核心 概念之一。它是研究函数增减、变 化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数 研究的问题即 变化率问题 ：研究某个变量相对于另 一个变量变化的快慢程度． 变化率问题 姚明身高变化曲线图 ( 部分 ) 身高 2.26 ● 2.12 ● ● 1.61 ● ● ● 0.8 ● ● ● ● ● ● ● ● 4 7 10 13 16 19 22 年龄 实例分析 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水面的高度 h ( 单 位 : m ) 与起跳后的时间 t ( 单位 : s ) 存在函数关系 h ( t ) ? ? 4.9 t ? 6.5 t ? 10 如果用运动员在某段时间内的平均速度 v 描述其运 动状态 , 那么 : 2 h (0.5) ? h (0) 在 0 ≤ t ≤0.5 这段时间里 , v ? ? 4.05(m/s); 0.5 ? 0 h (2) ? h (1) 在 1≤ t ≤2 这段时间里 , v ? ? ? 8.2(m/s); 2 ? 1 平均变化率 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) 式子 称为函数 f ( x ) 从 x 1 到 x 2 的 平均变化率 . x 2 ? x 1 令△ x = x 2 – x 1 , △ y = f ( x 2 ) – f ( x 1 ) , 则 f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? y ? x 2 ? x 1 ? x 【注意】△ x 是一个整体符号，而不是△与 x 相乘 . 可把△ x 看作是自变量的“增量” . △ x , △ y 均可正、可负，但一 般规定△ x ≠0. 平均变化率的几何意义 观察函数 f(x ) 的图象，平均变化率 表示什么 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) x 2 ? x 1 y f ( x 2 ) y = f ( x ) B A x 2 - x 1 割线 AB 的斜率 f ( x 2 ) - f ( x 1 ) f ( x 1 ) o x 1 x 2 x 练习 2 练习：求函数 y = x 在 x = x 0 附近的平均变化率 . 2 x 0 + △ x 感悟：一般地， 函数 f ( x ) 在 x = x 0 附近的平均变化率与既与 x 0 有关，也与 △ x 有关 . 探究 并思考下面的问题 : (1) 运动员在这段时间里是静止的吗 ? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题 吗 ? 65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度 , 49 探究 65 h ( ) ? h ( 0 ) ，所以， 探究过程：结合图形可知， 49 h 65 h ( ) ? h (0) 49 v ? ? 0 65 ? 0 49 O t ? 65 65 98 49 t 用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度 . 又如何求 瞬时速度呢 ? 求：运动员在 2s 附近很短一段时间内平均速度 ? h v ? ? t h (2 ? ? t ) ? h (2) ? ? ? 13.1 ? 4.9 ? t ? t 瞬时速度 △ t 0 时 , 在 [ 2+ △ t , 2 ] 这段时 间内 △ t 0 时 , 在 [2, 2 + △ t ] 这段时 间内 v ? ? 4 . 9 ? t ? 13 . 1 当 △ t = – 0.01 时 , v ? ? 13.051 当 △ t = – 0.001 时 , v ? ? 13 . 0951 v ? ? 4 . 9 ? t ? 13 . 1 当 △ t = 0.01 时 , v ? ? 13.149 当 △ t =0.001 时 , v ? ? 13 . 1049 △ t = 0.00001 , 当 △ t = – 0.0001 时 , v ? ? 13.09951 当 △ t =0.0001 时 , v ? ? 13.10049 △ t = – 0.00001 , △ t = – 0.000001, v ? ? 13 . 099951 v ? ? 13 . 100049 …… v ? ? 13.0999951 △ t =0.000001, v ? ?