3.1基本不等式与最大值最小值(1.ppt

(2) 已知 a 、 b 是实数，且 a+b=4, a b 求 2 +2 的最小值 a b 当且仅当 a=b=2 时 ,2 +2 取得最小值 8. (3) ． y=2x y ? 2 x 2 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 2 2 ,(0x1), 求 y 的最大值 ? ? x ? 1 ? x ? 2 ? 当且仅当 x ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 2 2 b 2 (4) ．已知 a 、 b 是正数 ，且 a + =1 ， 2 2 求 a 1 ? b 的最大值 . a 1 ? b 2 ? a 2 ? 1 ? b 2 2 2 ? ? 2 a 2 ? 1 b 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 b ? ? ? a ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ? 3 ? 4 2 3.3 （ 1 ） 基本不等式 （ 2 ） 基本不等式的最大值与最小值 一 . 基本不等式 对于任意实数 x , y ,( x - y ) 2 ≥0总是成立的 , 即 2 x 2 -2 xy + y ≥0 所以 x + y 2 2 2 ≥ xy , 当且仅当 x = y 时等号成立 设 x ? a , y ? b , 则由这个不等式可得出以 下结论 : a + b ≥ ab , 当且仅当 如果 a , b 都是正数，那么 2 a = b 时 , 等号成立 . 上述不等式称为 基本不等式 , 其中 a ? b 2 称为 a , b 的 ab 算术平均数 , 称为 a , b 的 几何平均数 . a ? R 注意： 1 ．这个定理适用的范围： ? 2 ．语言表述：两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数。 对基本不等式的几何解释 : 以 a + b 为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C ，过 C 作 弦 DE ? AB, 则 CD ? CA ? CB ? ab 2 D 从而 , CD ? ab A 而半径 a ? b AO ? ? CD ? ab 2 a O C b E B 当且仅当 C 与 O 重合 , 即 a = b 时等号成立 例 1 给出下面四个推导过程： b a ①∵ a 、 b 为正实数，∴ ＋ ≥ 2 a b b a · ＝ 2 ； a b ②∵ x 、 y 为正实数，∴ lg x ＋ lg y ≥ 2 lg x · lg y ； 4 ③∵ a ∈ R ， a ≠ 0 ，∴ ＋ a ≥ 2 a 4 · a ＝ 4 ； a ? x ? ? y ? x y ④∵ x 、 y ∈ R ， xy ＜ 0 ，∴ y ＋ x ＝－ [ ? － y ? ＋ ? － x ? ] ? ? ? ? ≤－ 2 ? 其中正确的推导为 ( ? A ．①② ? C ．③④ ? x ? ? y ? ? － ? ? － ? ＝－ 2. ? y ? ? x ? ) B ．②③ D ．①④ 例 2 已知 x 、 y 都是正数，求证： (1) (2) y x x ? y ≥ 2 ； x ＋ y ）（ x 2 ＋ y 2 ）（ x 3 ＋ y 3 ） ８ x 3 y 3 . （ ≥ 练习 1 ．不等式 m 2 ＋ 1 ≥ 2 m 中等号成立的条件是 ( ) A ． m ＝ 1 B ． m ＝± 1 C ． m ＝－ 1 D ． m ＝ 0 2 ．已知 a ， b ∈ R ＋ ，且 a ＋ b ＝ 2 ，则 ( A ． ab ≤ 4 B ． ab ≥ 4 C ． ab ≤ 1 D ． ab ≥ 1 ) a ＋ b [ 题后感悟 ] 基本不等式 2 ≥ ab ( a ≥ 0 ， b ≥ 0) 反映了 两个非负数的和与积之间的关系．对它的准确掌握要抓住以 下两个方面： (1) 定理成立的条件： a 、 b 都是非负数， (2) “ 当且仅当 ” 的含义． a ＋ b ①当 a ＝ b 时， 2 ≥ ab 的等号成立， a ＋ b 即 a ＝ b ? 2 ＝ ab ； a ＋ b ②仅当 a ＝ b 时， ≥ ab 的等号成立， 2 a ＋ b 即 2 ＝ ab ? a ＝ b . a ＋ b ②仅当 a ＝ b 时， ≥ ab 的等号成立， 2 a ＋ b 即 2 ＝ ab ? a ＝ b . 二 . 基本不等式的最大值与最小值 已知两个正数 x ， y ，求 x+y 与积 xy 的 最值 . (1) xy 为定值 p ，那么当 x ＝ y 时， x+y 有最小值 _____ 2 p ； 积定和小 (2) x+y 为定值 s ，那么当 x ＝ y 时， 1 2 积 xy 有最大值 _____ s . 4 和定积大 例