空间几何二面角解题技巧练习.pdf

知识点： 二面角的求法 一、思想方法 求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点 难点. 直接法的核心是 作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法 有以下几种： 方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图 1。 方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点 P 棱及另一个面分别引垂线 PA、 PB，连接 AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图2。 方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角 就是二面角的平面角（图3 中MAN）. 方法四（投影面积法）一个平面上的图形面积为 S，它在另一个平面上的投影 面积为 S，这两个平面的夹角为，则 S=Scos或 cos= S / . S 方法五（异面直线法）如图4 中，平面、相交成角，AC 、BD 分别在 、上，且 2 2 2 2 m2  n2  d 2  AB 2 与棱垂直.若 AC=m ，BD=n, CD=d，则有 AB =m +n +d -2mncos，故 cos= 2mn （1） 在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求. 说明：原来的公式中理解为两异面直线间的夹角，只取锐角（或直角），故根据 2 2 2 2 A 、B 的位置情况公式是 AB =m +n +d 2mncos.但二面角可以取钝角，故只需取 “-”号得出公式（1）. 方法六（空间向量法）如图5，设  是二面角  l   的两个半平面的法向量，其 n ,n , 1 2   n n 1 2 方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角  l   的平面角 = arccos   。 | n || n | 1 2 二、例题 ： - 1 - 例 1．在棱长为 1 的正方体A C1 中，（1）求二面角A  B D  C 的大小； 1 1 （2）求平面C BD 与底面AB CD 所成二面角C  BD  C 的平面角大小