《高职数学教程》电子教案8.4 一元线性回归分析.pptVIP

8.4 一元线性回归分析 * * 在实际问体中, 常会出现需要研究两个变量之间的 关系, 它们一般可分为两类: 一类是两个变量之间的确定, 常用函数关系来表示； 另一类是非确定性的变量之间的 关系, 如人的年龄与血压, 某地区某段时间内的风力强度 与时间的关系等, 称之为相关关系, 通常用统计的方法来 处理. 回归分析就是处理相关关系的数学方法， 它是研究 变量之间的关系， 同时利用概率统计知识分析和判断所建 立的公式，并能利用公式达到预测、控制的目的. 我们只讨论一个随机变量与一个普通变量之间的 相关关系, 如果这种相关关系可用一个线性方程近似表 示, 则这种统计方法称为一元线性回归. 1.一元线性回归的建立 对于n个观测数据 若y与x具有显著的线性相 关关系， 则 y与x之间的关系可近似地看作是线性关系. 因而可用线性方程表示 其中 为待定常数， 为因随机波动而产生的偏差. 我们的目的是利用这些观测数据， 用最小二乘法求 出 的值， 即可得到 使误差最小. 以下用最 小二乘法求出 的估计量 设 使 数a, b记作 最小的常 分别称为参数a, b的最小二乘估计.令 从中求出a, b的解，得 其中 上述确定 的方法称为最小二乘法.称 为一元线性回归方程. 例8.4.1某单位对家庭拥有的电脑作统计,发现该单位家庭电脑的普及率y如下: 56.3 54.3 52.8 50.6 48.03 45.83 43.84 y 7 6 5 4 3 2 1 月份x 试确定y对x的回归直线方程. 解 对给定的一组数据，为计算 列出表格 17795.6 140 1465.89 351.7 28 ∑ 3169.69 49 394.1 56.3 7 7 2948.49 36 325.8 54.3 6 6 2787.84 25 264 52.8 5 5 2560.36 16 202.4 50.6 4 4 2306.88 9 144.09 48.03 3 3 8401.56 4 91.66 45.83 2 2 1921.95 1 43.84 43.84 1 1 yi2 xi2 xiyi yi xi i 所以 所求回归方程为 2. 检验 通过上面的讨论可知， 对于任何一组观测数据 (xi ,yi ) (i=1, 2,…,n)， 不论y 与x是否存在线性相关关系， 可以用最小二乘法求出线性回归方程. 值得注意的是, 都 有在y与x具有显著的线性相关关系时, 只 回归方程 才有意义， 否则它是毫无意义的. 因此， 检验的 目的在于确定y与x之间是否存在线性相关关系. 在y=a+bx+ε中， 如果b=0， 说明线性回归方程 不能描述y与x的相关关系. 为此，提出假设 H0：b =0. 注意到 反映了x对y 的影响， 而回归 值 就是yi 中仅受xi 影响的那一部分， 由 所以 是除去了xi 的影响后受其它 因素影响的部分. 于是，将 加以分解. 由于 所以 令 于是 容易证明， 的平均值等于 的 平均值 因此，U反映了回归值 的离散程 度， 称为回归平方和. 而Q是扣除了x对y的线性影响后 由其它因素所产生的误差， 它反映了观测值偏离回归直 线的程度， 称Q为剩余平方和。 将U，V的公式简化如下： 对于yi=a＋bxi＋εi ( i=1,2,…,n)，如前面所述，ε1,ε2,…,εn是相互独立的，且εi ~N 当H0：b=0成立时，确定统计量 对给定的显著性水平 查F分布表， 求得满足 的临界值 通常取 由已给定的样本值算出统计量F的值， 如果 接受H0，可认为 y对x的线性相关关系不显著， 即回归方 程 是无意义的； 如果 否定H0，可认为y 对x的线性相关关系显著， 即回归方程 是有意 义的. 例8.4.1 商品的价格x(元)与需求量y(千克)的一组观测数据为 80 65 50 45 40 30 25 20 15 10 y 20 18 15 12 10 8 6 4 3 2 x 试确定y对x的回归直线方程，并检验所求回归效果是 否显著 解 对给定的一组数据，画出散点图，如图所示。 y o x (1)为计算 列出表格 19000 1322 4995 380 98 ∑ 6400 400 1600 80 20 10 4225 324 1170 65 18 9 2500 225 750 50 15 8 2025 144 540 45 12 7 1600 100 400 40 10 6 9