《高职数学教程》电子教案9.3 二阶微分方程.ppt

9.3二阶微分方程 (1)当 不是方程(9.3.12)对应齐次方程的特征 根时,取 (2)当 是方程(9.3.12)对应齐次方程的特征 根时,取 注: 因为二阶齐次方程的特征方程是二次的, 所以当有复特征根时,不可能出现重根,因此 k 不可能取2. 例9.3.12求方程 的一个特解. 解 原方程对应的齐次方程为 特征方程为 特征根为 因为 不是特征方程的根, 所以取 可设原方程的特解为 * * 二阶微分方程的一般形式为 本节将介绍可降阶的微分方程与二阶常系数线性微分方 程的解法. 9.3.1可降阶的二阶微分方程 1. 形如 的微分方程 这类微分方程是最简单的二阶微分方程， 过两次积分求解其通解. 它可以通 它可推广为一般的形如 的微分方程， 通过n次积分求其通解. 例9.3.1 求微分方程 的通解. 解 方程两边逐次积分得 2. 形如 的微分方程 这类二阶微分方程的特点是方程右边式中不显含y, 解题的基本步骤是: (1)令 把原方程化为以P为未知函数的一阶方 程 (9.3.1) (2)求解方程（9.3.1）得P的表达式； (3)将P的表示式代入式子 求得原方程通解 例9.3.2 求微分方程 的通解. 解 原方程中不明显含y, 故令 则 于是 这是关于P的一阶线性非齐次方程， 即 从而,原方程的通解为 3. 形如 的微分方程 这类二阶微分方程的特点是方程的右边式中不明 显含 解题的基本步骤: (1)令 把原方程化为以 P为未知函数的一阶方程 (9.3.2) (2)求解方程 （9.3.2）得P的表示式； (3)将P的表示式代入 求得原方程的通解 例9.3.3 求微分方程 的通解， 初始条件 并求满足 的特解. 解 原方程中不明显含x, 故令 从而 代入原方程得 分离变量得 两边积分得 即 代入 得 从而得原方程通解 利用初始条件 可以得到 故所求的特解为 9.3.2 二阶常系数线性微分方程 设p, q为常数，形如 （9.3.3） 的方程称为二阶常系数线性微分方程， 当 f(x)=0时， 方程 （9.3.4） 称为二阶常系数线性齐次微分方程； 当 f(x) ≠0时， （9.3.3）称为二阶常系数线性非齐次微分方程. 方程 1. 二阶常系数线性齐次微分方程 先讨论方程（9.3.4）解的性质。 性质 设 及 是方程（9.3.4）的 两个线性无关（即 为常数）的解， 任意独立的常数 那么对于 则 （9.3.4）的通解。 是方程 考虑到方程（9.3.4）左边的系数p、q均为常数， 导数的运算规律可以猜想方程（9.3.4）有形如 由 的解(其中r为待定系数)， 将 代入方程（9.3.4）得 由于 所以上面式子可化为 (9.3.5) 这表明只要 r满足方程（9.3.5 ）, 则 就是方程 （9.3.4）的解. 关于r为未知数的方程（9.3.5）称为方程（9.3.4） 的特征方程， 特征方程的根称为特征根。 求解二阶常系数齐次线性方程的基本步骤是： (1)写出特征方程 求出特征根; (2)根据特征根的不同情况， 按照下表，对应地写出 微分方程的通解。 一对共轭复根 两个相等的实根 两个不相等的实根 微分方程 的通解 特征方程 的两个根 例9.3.4求微分方程 满足初始条件 的特解． 解 该方程的特征方程为 特征根为 于是其通解为 将初始条件 代入得 特解为 例9.3.5 求齐次方程 的通解. 解 该方程的特征方程为 求得特征根为 从而所求通解为 例9.3.6求齐次方程 的通解. 解 该方程的特征方程为 求得特征根为 从而所求通解为 2. 二阶常系数非齐次线性微分方程 性质1 如果 y* 是线性非齐次方程（9.3.3） 的一个特解， 是该方程所对应的线 性齐次方程的通解， 则 是线性非齐次方程（9.3.3）的通解。 性质2 设 分别是方程 和 的解, 则 是方程 的特解。 求方程（9.3.3） 的通解可分两步 (1) 求对应的齐次方程的通解 (2) 求方程（9.3.3）的一个特解 则方程（9.3.3）的通解为 关于齐次方程的通解 求法，在前面已作过介绍. 本节仅就自由项 f ( x ) 取三种特殊常见形式的函数时， 讨论如何求非齐次方程的一个特解 y*。 悉自由项 f ( x ) 的不同类型和相应特解y*的设法. 求法的关键是熟 1） f ( x )= 型（其中 是x 的n次多项式） 此时，方程为 (9.3.9) 从求导运算的规律看