二元函数可微的充分条件(最终版).pdf

- - .. -- 二元函数可微的充分条件 （最终版 ） 教材的充分条件是这样的 ， z f (x , y ) 的偏导数连续 ，则函数是可微的 。 条件可弱化为 ， z f (x, y) 偏导数存在 ， 且其中一个偏导数连续 ，另一个偏导数单元连续 （关于求导变 元 ）， 则函数是可微的 。 多元函数关于某个变元连续 ，则称之为单元连续 。 z z 证明 ： 1）设 连续 ， 关于 y 单元连续 。 x y 因为偏导数存在 ， 函数对单个自变量是连续的 ，根据拉格朗日中值定理 ， 有 z f (x , y ) f ( x , y ) f (x , y ) f (x , y) f (x , y ) f ( x , y ) 0 0 0 0 0 0 f ( , y ) x f (x , ) y （1） x y 0 在 y , y0 之间 ， 在 x , x0 之间 。 f ( , y) 在 (x , y ) 连续 ，有 f ( , y) f (x , y ) （2 ） x 0 0 x x 0 0 1 在 x x , y y 时是无穷小量 。 1 0 0 f (x , ) 在 y y 关于 y 单元连续 ， 有 y 0 0 f (x , ) f ( x , y ) （3 ） y 0 y 0 0 2 2 在 y y0 时是无穷小量 。 将 （2 ）（3 ）代入 （1）有 z f (x , y ) x f (x , y ) y x y x 0 0 y 0 0 1 2 可以证明 1 x 2 y =o( x2 y2 ) | 1 x 2 y| 0 | 1|+| 2 | 2 2 x y | 1 x 2 y| 1 x 2 y | 1 |+| 2 | 是无穷小量 ， 又两边夹准则 ， 是无穷小量 ，所以 是无