杭州市余杭区2005年“假日杯”高中数学竞赛试卷(word版,附答卷).doc

2005年余杭区“假日杯”高二数学竞赛试卷（答案） （时间120分钟，满分100分） 一、选择题 （每小题4分，共32分） 1．“实数”是“不等式≥取等号”的 （ A ） （A）充分而不必要的条件 （B）充分且必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）既不充分又不必要的条件 2．已知，则与1的大小关系是 （ A ） （A）1 (B) 1 (C) =1 (D) 大小与的取值有关 3．设，那么的最小值是 （ C ） （A）2 （B）3 （C） 4 （D） 5 4．的值是 （ C ） （A） （B）2 （C） （D） 5．若点A（3，5）关于直线的对称点在轴上，则的值是 （ D ） （A） （B） （C） （D） 6．设是三个非零向量，且与不共线，若关于方程有两个实根，则 （ B ） （A） （B） （C） （D）大小关系不能确定 7．点集合{(x, y)| lg(x3＋y3＋)=lgx＋lgy}中, 元素的个数为 （ B ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）多于2个 8．函数满足且 ，则等于 （ D ） （A）34 （B）36 （C） 38 （D）40 二、填空题 （每小题5分，共30分） 9．两条直线2x2－5xy＋y2=0的夹角为 arctan ； 10．已知数列中，(≥2)，则通项 ； 11．设函数，则 　； 12．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （—2 ，3） ； 13．已知实数满足，则 ； 14．已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，则向量的夹角是 60 ； 三、解答题 （本题有4小题，第1题8分，后3题每题10分，共38分） 15．设不等式对满足||≤2的一切实数的取值都成立，求的取值范围． 解：令，它是一条直线（由||≤2知它实质是一条线段）且使||≤2的一切实数都有成立，…… 3分 所以有 ，即 ，解得 …… 7分 故的取值范围是{x|}. ………………………………… 8分 16．某建筑工地有84根大小相同的圆柱型水管,把这些水管堆放成等腰梯形,相邻两层水管数只相差一根,最底层的水管根数至多是最上层水管根数的2倍,在不考虑占地面积、堆放高度与地面承重等因素时,试问一共可以堆放多少层? 解：依题意知，每一层水管的根数构成等差数列，记最底层的水管根数为，则公差，由题意得： (1) (2) 由(1)式得 (3) 由(2)式得 ， 则 (4) (3)式代入(4)式得 168 ……………………………………… 4分 解得 ， 又 …………………………………………………………… 6分 当时,解得(不合题意,舍去), 当时,解得(合题意), 当时,解得(不合题意,舍去), 当时,解得(不合题意,舍去), 当时,解得(不合题意,舍去), 当时,解得(合题意), 当时,解得(合题意). ………………………………………………………10分 答:可堆放3层、7层或8层． 17．设x, y, z0, 且x2＋y2＋z2=1, 试求S=的最小值． 解： S2=()2=+2(x2+y2+z2), …………………… 4分 2()≥2(x2+y2+z2)=2, …………………………………… 8分 ∴ S2≥3, S≥, ∴ S的最小值为 ……………………………………… 10分 18．已知 　（1）若能表示成一个奇函数和一个偶函数的和，求和的解析式； 　（2）若和在区间上都是减函数，求a的取值范围； 　 （3）在（2）的条件下，比较的大小． 解：（1）设