专升本高等数学课件 第一章.pptVIP

函数与极限 第一章 函数、极限和连续 第一节 函数 一、函数概念 显函数：函数关系用解析式 表示的称为显函数，如 . 分段函数：有些函数，对于其定义域内自变量 的不同值，函数不能用一个统一的公式表示，而要用两个或两个以上的公式来表示，这类函数称为分段函数. 隐函数：函数 与自变量 的对应法则用一个方程 表示的函数，如 . 二、函数的性质 三、反函数 四、基本初等函数 五、复合函数 初等函数 第一章 函数、极限和连续 第二节 极限 一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列的极限 一、自变量x→∞时, f (x)的极限 二、自变量x→x0有限值时,函数 f(x) 的极限 三、函数极限的性质 四、极限运算法则 一、无穷小量（简称无穷小） 二、无穷大量（简称无穷大） 三、无穷小与无穷大的关系 四、无穷小量的比较 等价无穷小代换 五、极限存在准则 六、两个重要极限 七、求极限方法举例 三、小结 第一章 函数、极限和连续 第三节 连续 一、函数连续的概念 二、函数的间断点 小结 1、连续函数的四则运算的连续性 2、反函数与复合函数的连续性 3、初等函数的连续性 4、小结 四、闭区间上连续函数的性质 小结 1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 3.间断点的分类与判别; 2.区间上的连续函数; 第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型. 间断点 (见下图) 可去型 第一类间断点 o y x 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 o y x o y x o y x 二、连续函数的运算 1、四则运算的连续性 2、反函数与复合函数的连续性 3、初等函数的连续性 与初等函数的连续性 【定理1】 ［例如］ 由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立得: 【推广】 有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。 【结论】三角函数在其定义域内连续. 若f(x) , g(x)在点x0处连续，则f(x)±g(x) ， f(x)g(x) , f(x)/g(x)[g(x0)≠0]在点x0处也连续. (1) 例 解 (2) 对数列有 例 解 小结： 练 习 题 例1 解 小结: 解 商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 解 例3 (消去零因子法) 例4 解 (无穷小因子分出法) 小结: 无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限. 例5 解 先变形再求极限. 例6 解 例7 解 左右极限存在且相等, 意义： 例8 解 1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法; a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限. 3、复合函数的极限运算法则 1.函数的增量 2.连续的定义 例1 证 由定义2知 3.单侧连续 定理 例2 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 1.跳跃间断点 例4 解 2.可去间断点 例5 注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例5中, 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 例8 解 左右极限存在但不相等, [例1] [证] [极限存在定理] [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察. [注]以下仅以 形式为代表给出函数极 限的一些定理，其它形式类推之。 1.[唯一性] [定理2] 2.[ 有界性] 局部 3.[ 保号性] [几何解释] 容易推得下面更强的结论： [定理3] [定理3*] 局部 常用于证明有关定理或证明题 [推论] [证明] 利用定理3反证之（略）. [思考] 若推论 中的条件为 是否必有 不一定! 如 定理 推论1 常数因子可以提到极限记号外面. 推论2 函数与极限 无穷小量与无穷大量 一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、无穷小量的比较 七、求极限方法举例 五、极限存在准则