专升本高等数学课件 第二章.pptVIP

一、问题的提出 二、导数的定义—— “点导数”定义 三、导数的几何意义 四、可导与连续的关系 五、小结 第二节 函数的求导法则 一、和、差、积、商的求导法则 二、例题分析 三、反函数的求导法则 四、复合函数的求导法则 五、基本求导法则与导数公式 六、小结 一、高阶导数的定义 二、 高阶导数求法举例 三、内容小结 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、小结 一、问题的提出 二、微分的定义 三、可微的条件（充要性） 四、微分的几何意义 五、微分公式与微分法则 六、小结 二、0·∞, ∞－∞, 00 , 1∞ , ∞0 型未定式解法 第七节 函数的单调性 与曲线的凹凸性 一、单调性的判别法 二、单调区间求法 三、单调性小结 四、曲线凹凸的定义 五、曲线凹凸与拐点的判定 六、曲线的拐点及其求法 七、曲线的凹凸性小结 一、函数极值的定义 二、函数极值的求法 三、极值小结 四、最值的求法 五、应用举例 三、小结 2. 可导函数单调性判别 (充分性) 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 1. 函数单调区间的可能分界点 (1) 驻点; (2)不可导点 3. 单调性应用: (1)求函数的单调区间; (2)利用单调性证明不等式. [问题]单调性不能反映曲线的弯曲方 向；如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位于所张弦的上方 图形上任意弧段位于所张弦的下方 [定义] 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 【观察】 [定理2](凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 在 I 内图形是凸的 . 设函数 在区间I 上二阶可导 [注]定理中区间I 可以为闭区间也可为非闭区间. [例8] [解] [注意] 这样的点称为曲线的拐点， ［定义］连续曲线上凹凸的分界点 (x0 ，f (x0)) 称为拐点. 内点 1.可能(可疑)拐点的求法 [分析] 所以要寻求拐点,只要找出使f? (x)正负号发生变化的分界点即可.如果f? (x)连续,则f? (x)的值在由负变正或由正变负的过程中,必在分界点处的值为零.即 此外, f? (x)不存在的点也可能是拐点（如下图） 可能的拐点 [总结] ① ② 2. 判定拐点的步骤 由此可得求拐点的步骤如下: 若在其两侧二阶导数变号, 则点(x0 , f (x0))是拐点； 若在其两侧二阶导数不变号, 则点(x0 , f (x0))不是拐点； —可能的拐点 [例11]判断曲线 的凹凸性及其拐点. [解] 故曲线 在 上是凹的. [结论] 由 例8和例11可知 ：二阶导数为零的点可能是拐点 , 也可能不是拐点。 [课本例12] 求曲线 的拐点. [解] 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 [结论] 2)此例说明了 不存在的点 也可能 是曲线的拐点. [课本例10]求曲线 的凹凸区间及拐点. [解] 1) 求 2) 求可能的拐点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上是凹的, 是凸的 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 函数的凹凸性拐点练习题 习题 3-4 P153 8(1)(3) 、 9(1)(2)、12 函数的凹凸性拐点作业题 习题 3-4 P153 8(1) 、 9(1)、12 3.拐点的求法：1.找出可能拐点；2.判别. 一阶导符号定单调；二阶导符号判凹凸 可能拐点—— 1. f?(x) = 0的点 2. f?(x) 不 存在的点. 1.曲线凹凸的判别 2.拐点 — 连续曲线上的凹凸分界（内点）点 【实例】正方形金属薄片受热后面积的改变量. 【问题】这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数 的改变量都有这个特点? 它是什么? 如何求? 【定义】 (微分的实质) 【定理】 【证】 (1) (2) 【例1】 【解】 M N T ） 【几何意义】(如图) P Q △y≈dy 【求法】计算函数的导数,再乘以自变量的微分. 1.【基本初等函数的微分公式】 2. 【函数和、差、积、商的微分法则】 【例2】 【解】 【结论】 微分形式的不变性 3.【复合函数的微分法则】（微分形式的不变性） 对谁求导乘以谁的微分 【例3】 【解】 【解】 【例4】 在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立. 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题 函数的增量问题 微分的概念 导