专升本高等数学课件 第四章.pptVIP

一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结 一、全微分的定义 二、可微的条件 三、小结 一、多元复合函数求导的链式法则 二、全微分形式不变性—多元复合函数的全微分 三、小结 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 三、小结 一、问题的提出 三、条件极值拉格朗日乘数法 四、小结 【解法2】 利用——公式法 设 则 两边对 x 求偏导 x , y , z 地位等同 【解法3】 全微分法(已知可微时). 对方程两边求全微分: 每个变量都有微分 两边对 x 求偏导 【总结】 (1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同. 即对 x 求偏导，y 、z 要视为常数.反之亦然. (2)推导法（直接法）:首先确定函数与自变量：z = z( x,y). 方程两边对自变量 x 求偏导，此时切记 z = z (x , y).最后解出 即可. (或 y) ( 或 ) (3) 求出一阶偏导数后，再求高阶偏导数时，z 仍要看作 x、y 的函数 z = z (x , y). 如上例(课本例2) 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比 行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 【定理3】 的某一邻域内具有连续偏 设函数 则方程组 ③ 且其偏导数按以下方法求得 （推导法）: ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组连续且有连续偏导数的函数 满足: 导数； 即 满足条件 有隐函数组 则 两边对 x 求导，则 y 视为常数 设方程组 (2)推导法（要求熟练掌握、记忆） (1) Th3公式（繁杂 不要求记） 同理方程组两边再分别对y求偏导, 则x 视为常数,得 【注意】 【解1】 直接代入公式(略) 【解2】 运用公式推导的方法（直接法)， 将所给方程的两边对 求导 移项得 将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得 解得 【注意】关键正确找出谁是函数, 谁是自变量. 【规律】一般地(假设所讨论方程均存在隐函数) ②有几个方程构成的方程组 就确定几个隐 函数；这些隐函数的自变量是其余的变量. ①两个方程的方程组确定两个函数，这两 个函数的自变量是其余的变量. 方程的个数＝隐函数的个数 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 1. 隐函数( 组) 存在定理 2. 隐函数 ( 组) 求导方法 （分以下几种情况） 【方法】 (1)公式法：各个自变量地位等同. (2)推导法（直接法）： 注意此时有因变量与自变量之分.关键要搞清哪个（些）变量是函数，哪个（些）变量是自变量. (3)可微时可利用全微分求解 . 三、条件极值 拉格朗日乘数法 一、问题的提出 二、多元函数的极值和最值 四、小结 思考题 【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出70?5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x ?7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值. 进价：1元 售价：x元 进价：1.2元 售价：y 元 收益：x ?1元/瓶 收益：y ?1.2元/瓶 【解】 【解】 故所求全微分为 [注]此例是偏导数存在、函数也可微, 但其偏导数不连续的反例. 证明: (略) ——自己验证 [结论] 偏导数连续 函数可微 定理2 例4 偏导数连续 可 微 连 续 偏导数存在 极限存在 多元函数的极限存在、连续、可偏导、可微、 偏导数连续之间的关系图 １．多元函数全微分的概念； ２．多元函数全微分的求法； ３．多元函数极限、连续、可导、可微的关系． （注意：与一元函数有很大区别） 4. 可微的条件 必要条件（定理1） 充分条件（定理2） 充要条件（定义） 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 即 —— 全微分形式不变性 1. 【一元函数与多元函数复合的情形】 【定理1】若函数 处偏导数连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 【证】 在点 t 可导, ( 全导数公式 ) 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. [例如] 以上公式中的导数 称为全导数. 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导. 从定理1的证明过程可以看出，要求外层函数具 有“连续偏导数”，可以减弱为外层函数“可微”。 [说明] 推广 2. 【多元函