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构造三角形巧解代数问题
三角形是我们熟知的几何图形，它蕴含着正弦定理、余弦定理、面积公式等性质定理.如果在解决一些代数问题时，能根据题目条件，构造出合适的三角形，然后借助三角形自身的性质和结论，不仅可以使问题的解决简捷巧妙，还可以开阔我们的视野.本位通过实例谈谈三角形在以下几个问题中的应用
一 求值
例1 求的值
解：变形可得：
由可以构造出，如图1所示：
CB
C
B
A
c
a
b
其中，角的对边分别为
由正弦定理可得：，其中为的外接圆半径
则
所以 （1）
又因为
代入（1）可得：
二 求最值
例2 设，若，求的最大值
解：变形可得： （*）
（*）式与余弦定理类比可以出构造，如图2所示：
AC
A
C
B
1
y
2x
其中
由可得：
又因为 由正弦定理可得： ,其中为外接圆的半径
于是
又因为
所以
所以当且仅当时，即为等腰三角形时，取最大值
三 解方程组
例3 已知，且，求
解：变形可得：
(1)式与余弦定理类比可以构造出，其中，
(2)式与余弦定理类比可以构造出，其中，
(3)式与余弦定理类比可以构造出的三个边长，其中,
由此可以构造出，如图3所示：
AB
A
B
C
5
3
4
O
a
b
c
其中是以角为直角的直角三角形
由图3可知：
代入数据可得：
化简可得：
四 证明等式
例4 证明：
证明：作，如图4所示：
ABC
A
B
C
D
E
在的两边上分别取点,使得
利用三角形性质可得：
所以，,
即
又因为是等腰三角形
所以，即
化简可得：
五 证明不等式
例5 已知，求证：
解:变形可得：
与三角形面积公式
类比可以构造出，如图5所示：
ABC
A
B
C
D
F
E
1－y
y
1－z
z
x
1－x
其中为边长1的等边三角形
设，则
由图形可得：
代入数据可得：
化简得：
综上例题大家可以看到：在处理一些代数问题时，根据题目中已知条件，大胆构造三角形，巧妙借助正弦定理、余弦定理、三角形面积等性质，可以直观、迅速地得出答案，在解决问题的同时，也开拓了我们的视野，培养了我们的创新思维。
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