第3章微分中值定理与导数的应用第一节 精选文档.ppt

第三章 微分中值定理与 导数的应用 微分中值定理的核心是 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理， 费马定理 是它的预备定理， 罗尔定理 是它的特例， 柯西定理 是它的推广。 1. 预备定理——费马 ( Fermat ) 定理 . 0 ) ( ) ( ) , ( ) ( 0 0 0 ? ? x f x x f x b a x f 可导，则 在点 且 取得最值 内一点 在 若函数 费马（ Fermat ， 1601-1665 ），法国人，与笛卡尔共 同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。 第一节 微分中值定理 x y o ) ( x f y ? 1 ? 2 ? 几何解释 : . 0 位于水平位置的那一点 续滑动时，就必然经过 ，当切线沿曲线连 率为 显然有水平切线，其斜 曲线在最高点和最低点 证明 : 达到最大值证明 在 只就 0 ) ( x x f ), ( ) ( , ) , ( ) ( 0 0 0 0 x f x x f b a x x x x f ? ? ? ? ? 就有 内 在 达到最大值，所以只 在 由于 , 0 ) ( ) ( 0 0 ? ? ? x f x x f ? 即 ; 0 , 0 ) ( ) ( 0 0 时 当 从而 ? ? ? ? x x x f x x f ? ? ? ; 0 , 0 ) ( ) ( 0 0 时 当 ? ? ? ? x x x f x x f ? ? ? 0 ) ( ) ( lim 0) ( 0 0 0 x 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? x x f x x f x f 这样 . 0 ) ( ) ( lim 0) ( 0 0 0 x 0 ? ? ? ? ? ? ? ? x x f x x f x f ? ? ? . 0 ) ( 0 ? ? x f 所 以 可导， 在点 而 0 ) ( x x f 几何解释 : 2. 罗尔 ( Rolle ) 定理 x O y C ? a b y ? f ( x ) A B 如果连续光滑的曲线 y ? f ( x ) 在端点 A 、 B 处的 纵坐标相等。那么，在 曲线弧上至少有一点 C ( ? , f ( ? )) ，曲线在 C 点 的切线平行于 x 轴。 如果函数 y ? f ( x ) 满足条件： (1) 在闭区间 [ a , b ] 上 连续， (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导， (3) f ( a ) ? f ( b ) ，则至少 存在一点 ? ? ( a , b ) ，使得 f ? ( ? ) ? 0 。 证 . ) 1 ( m M ? 若 , ] , [ ) ( 连续 在 b a x f ? . m M 和最小值 必有最大值 . ) ( M x f ? 则 . 0 ) ( ? ? x f 由此得 ), , ( b a ? ? ? . 0 ) ( ? ? ? f 都有 . ) 2 ( m M ? 若 ), ( ) ( b f a f ? ? . 取得 最值不可能同时在端点 ? ), ( a f M ? 设 . ) ( ) , ( M f b a ? ? ? ? ? 使 ， 则 由费马引理 , . 0 ) ( ? ? ? f 注意： 如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。 f ( x ) 不满足条件 (1) B x O y A a b f ( x ) 不满足条件 (3) x O y A B a b f ( x ) 不满足条件 (2) x O y A B a b c 在 ] , 0 [ ? 上 连 续 , ) , 0 ( ? 内 可 导 , 且 0 ) ( ) 0 ( ? ? ? f f , 例 1 验证 ， x x f sin ) ( ? ， x x f cos ) ( ? ? ， 0 ) 2 ( ? ? ? f . ) , 0 ( 2 ? ? ? 例 2 不求导数，判断函数 f ( x ) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) 的导 数有几个零点，以及其所在范围。 解 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 0 ， f ( x ) 在 [1, 2] ， [2, 3] 上满足罗尔 定理的三个条件。 在 (1, 2