用232等差数列前n项和的性质推导课件.ppt

2.3.2 等差数列前 n 项和的性质推导 1 3 ．等差数列前 n 项和的性质 等差数列有以下 10 条常用的性质： (1) S n 是等差数列 { a n } 前 n 项和 ? S n ＝ An 2 ＋ Bn ( A 、 B 为常数 ) ． (2) 等差数列 ( 公差 d ≠ 0) 依次 k 项之和仍然是等差数列 ，即 S k ， S 2 k － S k ， S 3 k － S 2 k …成公差为 k 2 d 的等差数列． (3) 等差数列 { a n } 中， 若 S n ＝ m ， S m ＝ n ， ( m ≠ n ) ， 则有 S m ＋ n ＝ _________ 。 (4) 若 S m ＝ S n ( m ≠ n ) ，则 S m ＋ n ＝ 0. (5) 若 { a n } 和 { b n } 均为等差数列，且前 n 项的和分别为 A n 与 B n ，则有 a m b m ＝ A 2 m － 1 B 2 m － 1 . － ( m ＋ n ) 2 3. 等差数列的前 n 项和的性质 (6) 项数为 2 n ( 偶数 ) 的等差数列 { a n } ，有： S 2 n ＝ n ( a n ＋ a n ＋ 1 ) ， ( a n 、 a n+ 1 为中间两项 ) S 偶 － S 奇 ＝ _____ ， S 奇 S 偶 ＝ a n a n ＋ 1 . (7) 项数为 2 n － 1( 奇数 ) 的等差数列 { a n } ，有： S 2 n － 1 ＝ _________ a n ， ( a n 为中间项 ) S 奇 － S 偶 ＝ ____ ， S 奇 S 偶 ＝ n n － 1 . nd (2 n － 1) a n 3 3. 等差数列前 n 项和的性质 (8) 在等差数列 { a n } 中， a 1 0 ， d 0. 则 S n 存在最 _____ 值； a 1 0 ， d 0 ，则 S n 存在最 ____ 值． (9) 若 S n 为等差数列 { a n } 的前 n 项和， 则 { S n n } 也是等差数列 ． (10) 若 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和， 则当 p ≠ q ( p ， q ∈ N * ) 时，有 : S p ＋ q p ＋ q ＝ S p － S q p － q . 大 小 4 教材 45 页例 4 ， 要注意从函数的角度来看待等差数列， 注 意知识之间的衔接、联系，一方面可从二次函数最值来讨论， 另一方面可从一次函数零点和正负值区间来考察，注意体会这 种多角度、全方位看问题的方法． 6 ．课前自主预习中性质的推导： 性质 (1) 5 如果 { a n } 是等差数列，公差为 d ，则 S n ＝ na 1 ＋ n ? n － 1 ? 2 d ＝ d 2 n 2 ＋ ( a 1 － d 2 ) n ，令 A ＝ d 2 ， B ＝ a 1 － d 2 ，则 S n ＝ An 2 ＋ Bn . 反之，若 { a n } 前 n 项和 S n ＝ An 2 ＋ Bn ，则 n ≥ 2 时， a n ＝ S n － S n － 1 ＝ ( An 2 ＋ Bn ) － [ A ( n － 1) 2 ＋ B ( n － 1)] ＝ 2 A ＋ ( B － A ) ， a 1 ＝ S 1 ＝ A ＋ B 也满 足，∴ a n ＝ 2 An ＋ ( B － A ) ，显然 { a n } 为等差数列． 6 性质 (2) 设等差数列的首项为 a 1 ，公差为 d ，则 a k ＋ 1 ＝ a 1 ＋ kd ， a 2 k ＋ 1 ＝ a 1 ＋ 2 kd . S k ＝ ka 1 ＋ k ? k － 1 ? 2 d . 又 S 2 k － S k 为数列第 k ＋ 1 项到第 2 k 项这 k 项的和， ∴ S 2 k － S k ＝ k ( a 1 ＋ kd ) ＋ k ? k － 1 ? 2 d ＝ ka 1 ＋ k ? k － 1 ? 2 d ＋ k 2 d . 7 同理： S 3 k － S 2 k ＝ k ( a 1 ＋ 2 kd ) ＋ k ? k － 1 ? 2 d ＝ ka 1 ＋ k ? k － 1 ? d 2 ＋ 2 k 2 d ， ∴ S k ， S 2 k － S k ， S 3 k － S 2 k ，构成等差数列，且公差为 k 2 d . 8 性质 (3) S n ＝ na 1 ＋ n ? n － 1 ? 2 d ＝ m . S m ＝ ma 1 ＋ m ? m － 1 ? 2 d ＝ n .