中考数学培优满分专题突破 专题2 图形变式与拓展.pdfVIP

专题2 图形变式与拓展 常考类型分析 专题类型突破 类型1 关于三角形的变式拓展问题 【例1】在图1 至图3 中，直线MN 与线段AB 相交于点O，∠1＝∠2＝45°. (1)如图1，若AO＝OB，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系； (2)将图1 中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO＝OB.求证：AC＝BD，AC ⊥ BD； (3)将图2 中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求 【思路分析】通过观察可以猜想AO 与BD 相等且互相垂直；在后面的问题中，通过添加BD 的垂线，使问题转化为全等三角形和相似三角形问题加以解决． 【解】(1)AO＝BD，AO⊥BD. (2)证明：如图1，过点B 作BE∥CA 交DO 于点E，延长AC 交DB 的延长线于点F. ∴∠ACO＝∠BEO. 又∵AO＝OB，∠AOC＝∠BOE， ∴△AOC ≌ △BOE. ∴AC＝BE. 又∵∠1＝45°， ∴∠ACO＝∠BEO＝135°.∴∠DEB＝45°. ∵∠2＝45°，∴BE＝BD，∠EBD＝90°.∴AC＝BD. ∵BE∥AC，∴∠AFD＝90°.∴AC⊥BD. (3)如图2，过点B BE∥CA 交DO 于点E， ∴∠BEO＝∠ACO. 又∵∠BOE＝∠AOC，∴△BOE ∽ △AOC. 又∵OB＝kAO， 由(2)的方法易得 BE＝BD. 满分技法►图形拓展类问题的解答往往需要借助几何直观、转化、类比的思想方法．在原图 形中具备的位置和数量关系，在图形变化后这种关系是否存在或又存在着怎样的新的关系， 可通过类比进行推理、验证，所用方法和第(1)问所用方法相似，可借鉴原结论方法，并进 行拓展，只要沿着这样的思路进行即可解决． 满分变式必练► 1.已知△ABC 中，AB＝AC，BC＝6.点P 从点B 出发沿射线BA 移动，同时点Q 从点C 出发沿 线段AC 的延长线移动，点P，Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D. (1)如图1，过点P PF∥AQ 交BC 于点F，求证：△PDF≌△QDC； (2)如图2，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长； (3)如图3，过点P PE⊥BC 于点E，在点P 从点B 向点A 移动的过程中，线段DE 的长度是 否保持不变？若保持不变，请求出DE 的长度，若改变，请说明理由． 解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB. ∵PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB. ∴∠B＝∠PFB.∴BP＝FP. 由题意，得BP＝CQ，∴FP＝CQ. ∵PF∥AC，∴∠DPF＝∠DQC.又∠PDF＝∠QDC，∴△PDF≌△QDC. (2)如图，过点P PF∥AC 交BC 于点F. ∵点P 为AB 的中点， (3)线段DE 的长度保持不变． 如图，过点P PF∥AC 交BC 于点F. 由(1)知，PB＝PF. 2.如图1，△ABC 中，∠ABC＝45°，AH⊥BC 于点H，点D 在AH 上，且DH＝CH，连接BD. 2 (1)求证：BD＝AC； (2)将△BHD绕点H顺时针旋转，得到△EHF(点B，D分别与点E，F对应)，连接AE. ①如图2，当点F落在AC上时(F不与C重合)，若BC＝4，tanC＝3，求AE 的长； ②如图3，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G， 连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由． 解：(1)在Rt△AHB 中，∠ABC＝45°， ∴AH＝BH. 在△BHD和△AHC 中， ∴△BHD≌△AHC(SAS)．∴BD＝AC. (2)①在Rt△AHC 中， ∵tanC＝3， 设CH＝x，则BH＝AH＝3x. ∵BC＝4，∴3x＋x＝4.∴x＝1.∴AH＝3，CH＝1. 由旋转，知∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，FH＝DH＝CH＝1， ∴△EHA∽△FHC.∴∠EAH＝∠C.∴tan∠EAH＝tanC＝3. 如图，过点H作HP⊥AE于点P， ∴HP＝3AP，AE＝2AP. 2 2 2 在Rt△AHP 中，AP ＋HP ＝AH ， ∴AP ＋(3AP)＝9.2 2 ②EF＝2GH.理由如下： 设AH与CG交于点Q， 由①知，△AEH和△FHC