用空间向量证解立体几何题之证明线面平行优秀课件.ppt

用空间向量证 ( 解 ) 立体几何题之 ( 五 ) ----- 证明线面平行 用空间向量证 ( 解 ) 立体几何题 是现阶段的热门话题 。 它可以把一 些复杂的证明或计算题用“程序 化”的计算来给出解答。 前段时间我们研究了用空间向量求 角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求 距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面 距离和面面距离 ) 和证明垂直 ( 包括线线 垂直、线面垂直和面面垂直 ) 。 用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。 ↑ n ? → m ? 0 ? ? m n ? ? ↑ m ? ? n ? ? m ? ↑ n ? G A E D C B F H M N 例 1. 如图： ABCD 与 ABEF 是正方形， CB ⊥平面 ABEF ， H 、 G 分别是 AC 、 BF 上 的点，且 AH=GF. 求证： HG ∥平面 CBE. MH ∥ AB,NG ∥ AB MH ∥ NG AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG G A E D C B F H P PH ∥ CB,PG ∥ BE 平面 HPG ∥平面 CBE HG ∥平面 CBE G A E D C B F H o z y 证明：由已知得： AB 、 BC 、 BE 两两垂直，故 可建立如图所示的空 间直角坐标系 o-xyz. x 设正方形边长为 1, AH=FG=a, 则 H(0,1- a , a) 、 G(1- a , 1- a,0), 2 2 2 2 2 2 2 2 故 , 而平面 CBE 的法向 量为 (0,1,0), 故 , 而 平面 CBE 故 HG ∥平面 CBE ) 2 2 , 0 , 2 2 1 ( a a HG ? ? ? n HG ? ? ? n ? ? H R D B C A A 1 Q P N M D 1 C 1 B 1 例 2. 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， P 、 Q 分别是 A 1 B 1 和 BC 上的动点，且 A 1 P=BQ ， M 是 AB 1 的中点， N 是 PQ 的 中点 . 求证： MN ∥平面 AC. M 是中点， N 是中点 MN ∥ RQ MN ∥平面 AC D B C A A 1 Q P N M D 1 C 1 B 1 作 PP 1 ⊥ AB 于 P 1 ， 作 MM 1 ⊥ AB 于 M 1 ， 连结 QP 1 ， 作 NN 1 ⊥ QP 1 于 N 1 ， 连结 M 1 N 1 N 1 M 1 P 1 NN 1 ∥ PP 1 MM 1 ∥ AA 1 又 NN 1 、 MM 1 均等于边长的一半 故 MM 1 N 1 N 是平行四边形，故 MN ∥ M 1 N 1 MN ∥平面 AC D B C A A 1 Q P N M D 1 C 1 B 1 z y x o 证明：建立如图 所示的空间直角 坐标系 o-xyz 设正方形边长为 2 ， 又设 A 1 P=BQ=2x 则 P(2 ， 2x ， 2) 、 Q(2-2x ， 2 ， 0) 故 N(2-x, 1+x, 1), 而 M(2, 1, 1) ? MN 所以向量 (-x, x, 0) ，又平面 AC 的法 向量为 (0, 0, 1) ，∴ ∴ ? n ? 0 ? ? n MN ? 又 M 不在平面 AC 内，所以 MN ∥平面 AC n MN ? ? D C B A D 1 C 1 B 1 A 1 例 3. 在正方体 ABCD- A 1 B 1 C 1 D 1 中，求证： 平面 A 1 BD ∥平面 CB 1 D 1 平行四边形 A 1 BCD 1