3 常系数线性微分方程组.ppt

2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 常系数线性微分方程组 常系数齐次线性微分方程组 常系数非齐次线性微分方程组 例9 如果 解 直接计算可得 因此由公式可得 例10 求方程组 满足初始条件 解 这里系数矩阵 特征根为 我们需要考虑下面方程 和 首先讨论 这个方程组的解为 其次 这个方程组的解为 解之得 代入上式得到三个线性无关的解,利用这三个解为列,即得 (3) 非齐线性方程的解 下面研究非齐线性微分方程组 由于(6)对应齐次方程组 的基解矩阵为 故由常数变易公式, * * 一阶常系数线性微分方程组: 本节主要讨论(1)的基解矩阵的求法. 一、矩阵指数expA的定义和求法 1 expA的定义 定义 注1: 矩阵级数(2)是收敛的. 由于 而数项级数 收敛 . 注2: 级数 在t的任何有限区间上是一致收敛的. 由于 而数项级数 收敛 . 2 矩阵指数的性质 由于: 绝对收敛级数的乘法定理 由于: 由于: 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵 (1)定理 矩阵 是(1)的基解矩阵,且 证明: 又因为 例1 如果A是一个对角矩阵 解 由(2)得 例2 解 因为 而后面两个矩阵是可交换的 故 (2) 基解矩阵的一种求法 则 其中 注1: 二 基解矩阵的计算公式 寻求 形如 将(3)代入(1)得 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系 方程(4)有非零解的充要条件是: 结论 即 例3 解 的根, 解得 解得 例4 解 特征方程为 为求其对应的特征向量 考虑方程组 解得 2 基解矩阵的计算方法---常系数线性微分方程组的解法 (1) 矩阵A具有n个线性无关的特征向量时 定理 是常系数线性微分方程组 的一个基解矩阵. 证明: 由上面讨论知,每一个向量函数 都是(1)的解,因此矩阵 是(1)的解矩阵, 所以 例5 解 由例3知 由定理,矩阵 就是一个基解矩阵. 注: 但由于 有 从而 例6 试求例5的实基解矩阵. 解 由于基解矩阵为 故实基解矩阵为 求例5满足初始条件 的解 解 由于基解矩阵为 故该方程的通解为 从而 由初始条件有 故 例7 求方程组 的通解. 解 因此特征根为 它们相的特征向量为 故基解矩阵为 故通解为 (2) 矩阵A的特征根有重根时 分量是无穷级数 难! 分量表为t的指数函数与幂函数乘积有限项组合 的解产生的, 由于 有 有 注1: 故 注2: 其中 例8 试解初值问题 解 从例4知, 即得 或者分别令