4.1 向量组及其线性相关性.ppt

*/36 如果将 n?m 矩阵 A 按列分块为 则齐次方程组 Ax ? 0 变成 从而 Ax ? 0 有非零解当且仅当存在一组不全为零的数 c1, c2, ?, cm, 使得 4.1.3 向量组的线性相关性 */36 定义4.2 给定向量组 若存在不全为零的数 则称向量组 线性相关, 使得 否则称为线性无关. 注 1. 若向量组 线性无关, 则只有 k1 ? k2 ? ??? ? km ? 0 时, 才有 成立. 2. 一个向量组是否线性相关称为它的线性相关性. 3. 含零向量的向量组必定线性相关. */36 则下列三个命题等价: 定理4.3 设有向量组 , 记 (1) 向量组 线性相关; (2) 齐次线性方程组 有非零解; (1) 向量组 线性无关; (2) 齐次线性方程组 只有零解; 下列三个命题也等价: */36 注 4. 一个向量 线性相关当且仅当 6. ?2或 ?3中两个向量线性相关等价于两个向量共线; ?3中三个向量线性相关等价于三个向量共面. 5. 向量组 线性相关等价于 对应分量成比例. ? ? ? k1? k2? ? k1? ? k2? k1? ? k2? ? 1? ? 0 */36 表示式唯一当且仅当向量 线性无关、向量 组 线性相关. 推论4.4 向量 能由向量组 线性表示、且 例4.4 证明 n 维基本向量 e1, e2, ? , en 线性无关. */36 例4.5 讨论下述向量组的线性相关性: 解 记 对 A 做初等行变换: 即知 因此向量组 线性相关. */36 则该向量组必定线性相关. 推论4.5 对于 n 维向量组 如果 这个推论的逆命题不成立. 例如, 在例4.5中, 向量组 线性相关, 但是 向量组的向量个数等于向量的维数. */36 推论4.6 若一个向量组线性无关, 则它的每个部分组 都线性无关; 若一个向量组的某个部分组线性相关, 则该向量组线性相关. 一个向量组中一部分向量构成的组称为部分组. */36 将 n 维向量组 (I) 中每个向量都添加 s 个分量 (s ?1,且添 加分量的位置对每个向量都完全一致) 得到 n ? s 维向量 组(II), 则称 (II)为(I)的升维组, 也称(I)为(II)的降维组. 例如, 则 (II) 是 (I) 的升维组, (I) 是 (II) 的降维组. */36 推论4.7 若一个向量组线性无关, 则它的升维组线性无 关; 若一个向量组线性相关, 则它的降维组线性相关. 该推论的逆命题不成立, 例如, 向量组 线性相关, 升维组 线性无关. */36 例4.6 已知向量组 线性无关, 设 讨论 的线性相关性. 解 因此, 当 m 为偶数时, 线性相关. 由已知条件得 之间的线性关系: 当 m 为奇数时, 记 则 rank A ? m, */36 将 A 中第 j ?1列加到第 j 列 ( j ?1, 2, ?, m), 得到 于是有 先将 B 中第 m ?1列乘以 ?2, 再将 B 中第 j 列 的 倍加到第 m ?1列 ( j ?1, 2, ?, m), 得 线性无关. 所以 */36 定理4.8 (1) 向量组 线性相关当且仅 当其中至少有一个向量能由其余 m?1个向量线性表示. 任何一个向量都不能由其余 m?1个向量线性表示. (2) 向量组 线性无关当且仅当其中 注1. 线性相关的含义: 线性相关的向量之间有线性表 示关系, 线性无关的向量之间则无线性表