人教B数学选修2 3课件1222 组合数的两个性质.ppt

1 . 掌握组合数的两个性质 , 并能运用组合数的性质进行化简或证 明 . 2 . 进一步理解排列与组合的区别与联系 , 能够熟练地解决一些综 合问题 . 组合数的性质 : (1) C ?? ?? = C ?? ?? - ?? . (2) C ?? +1 ?? = C ?? ?? + C ?? ?? - 1 . 知识拓展 要注意 C ?? +1 ?? = C ?? ?? + C ?? ?? - 1 的顺用、逆用、变形应用 . 顺用是将一个组合数拆成两个 ; 逆用则是 “ 合二为一 ”; 还可变形为 C ?? ?? - 1 = C ?? +1 ?? ? C ?? ?? , 为某些项相互抵消提供了方便 , 在解题时要注意 灵活运用 . 【做一做 1 - 1 】 若 C 25 2 ?? = C 25 ?? +4 , 则 x 的值是 ( ) A.4 B.7 C.4 或 7 D. 无解 解析 : 由题意可知 ,2 x=x+ 4 或 2 x+ ( x+ 4) = 25, 解得 x= 4 或 x= 7 . 答案 : C 答案 : B 【做一做 1 - 2 】 C 100 90 ? C 99 89 等于 ( ) A . C 100 89 B . C 99 90 C . C 99 89 D . C 100 88 解析 : ∵ C ?? +1 ?? = C ?? ?? + C ?? ?? - 1 , ∴ C ?? +1 ?? ? C ?? ?? - 1 = C ?? ?? . ∴ C 100 90 ? C 99 89 = C 99 90 . 如何理解组合数的两个性质 ? 剖析 (1) 性质 1: C ?? ?? = C ?? ?? - ?? . ① 性质的含义 . 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合 , 与剩下的 ( n-m ) 个元素 的组合一一对应 . 这样 , 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 , 等于从这 n 个不同元素中取出 ( n-m ) 个元素的组合数 . ② 计算 C ?? ?? 时 , 若 m ?? 2 , 通常不直接计算 C ?? ?? , 而改为计算 C ?? ?? - ?? . (2) 性质 2: C ?? +1 ?? = C ?? ?? + C ?? ?? - 1 . ① 性质的含义 . 在确定从 ( n+ 1) 个不同元素中取 m 个元素的方法时 , 对于某一元 素 , 只存在着取与不取两种可能 . 如果取这一元素 , 则需从剩下的 n 个 元素中再取出 ( m- 1) 个元素 , 共有 C ?? ?? - 1 种方法 ; 如果不取这一元素 , 则 需从剩下的 n 个元素中取出 m 个元素 , 共有 C ?? ?? 种方法 . 由分类加法计 数原理得 C ?? +1 ?? = C ?? ?? + C ?? ?? - 1 . ② 公式特点 . 左边下标为 n+ 1, 右边下标为 n , 相差 1; 左边上标与右边一项的 上标相同 , 右边另一项的上标比左边上标少 1 . 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 组合数性质的应用 【例 1 】 (1) 解方程组 C ?? ?? = C ?? 2 ?? , 3C ?? ?? +1 = 11C ?? ?? - 1 . (2) 证明 : C ?? 0 + C ?? +1 1 + C ?? +2 2 + … + C ?? + ?? - 1 ?? - 1 = C ?? + ?? ?? - 1 . 分析 (1) 解答的突破口在 “ C ?? ?? = C ?? 2 ?? ” , 因为等号两边是下标相同 的两个组合数 , 所以由组合数的性质 1 可得 y= 2 y 或 y=x- 2 y. (2) 证明 应灵活运用 C ?? +1 ?? = C ?? ?? + C ?? ?? - 1 . 题型一 题型二 题型三 题型四 (1) 解 : ∵ C ?? ?? = C ?? 2 ?? , ∴ y= 2 y 或 y=x- 2 y. 若 y= 2 y , 则 y= 0, y- 1 0, 不合题意 , 舍去 . ∴ y=x- 2 y , 即 x= 3 y , 代入 3 C ?? ?? +1 = 11 C ?? ?? - 1 , 得 3 C 3 ?? ?? +1 = 11 C 3 ?? ?? - 1 , 即 3 · ( 3 ?? )! ( ?? +1 )!( 2 ?? - 1 )! = 11 · ( 3 ?? )! ( ?? - 1 )