协方差相关系数和大数定律.ppt

§ 3.3 协方差和相关系数 问题 对于二维随机变量 ( X ,Y ): 已知联合分布 边缘分布 对二维随机变量 , 除每个随机变量各自 的概率特性外 , 相互之间可能还有某种联系 , 问题是用一个怎样的数去反映这种联系 . ? ? [ ( )][ ( )] E X E X Y E Y ? ? 数 反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系 为 X ,Y 的 协方差 . 协方差和相关系数的定义 定义 称 ) ( ) ( ) , cov( Y D X D Y X XY ? ? 无量纲 的量 为 X ,Y 的 相关系数 . 若 , 0 ? XY ? 称 X ,Y 不相关 . ? ? cov( , ) [ ( )][ ( )] X Y E X E X Y E Y ? ? ? 称 若 ( X ,Y ) 为离散型， 1 1 cov( , ) [ ( )][ ( )] i j ij i j X Y x E X y E Y p ? ? ? ? ? ? ? ?? 若 ( X ,Y ) 为连续型， cov( , ) [ ( )][ ( )] ( , ) X Y x E X y E Y f x y dxdy ?? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? 协方差和相关系数的计算 ? ) ( ) ( ) ( ) , cov( Y E X E XY E Y X ? ? ? ? ( ) ( ) ( ) 2cov , D X Y D X D Y X Y ? ? ? ? ? 求 cov ( X ,Y ), ? XY 1 0 p q X P 1 0 p q Y P 例 1 已知 X ,Y 的联合分布为 X Y p ij 1 0 1 0 p 0 0 q 0 p 1 p + q = 1 解 1 0 p q X Y P , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( pq Y D pq X D p Y E p X E ? ? ? ? , ) ( p XY E ? 1 , ) , cov( ? ? XY pq Y X ? 例 2 设 u~ U (0,2 ? ) , X= cos u , Y= cos( u+ ? ), ? 是给定的常数，求 ? XY 解 1 , 0 2 , ( ) 2 0, u t f t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 其他 , 0 2 1 ) cos( ) ( , 0 2 1 cos ) ( 2 0 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? dt t Y E dt t X E ? ? ? ? ? ? ? ? ? cos 2 1 2 1 ) cos( ) cos( ) ( 2 0 ? ? ? ? ? dt t t XY E ? cos 2 1 ) , cov( ? Y X , 2 1 2 1 ) ( cos ) ( , 2 1 2 1 cos ) ( 2 0 2 2 2 0 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? dt t Y E dt t X E ? ? ? ? ? , 2 1 ) ( , 2 1 ) ( ? ? Y D X D ? ? cos ? XY , 0 ? ? 若 1 ? XY ? X Y ? , ? ? ? 若 1 ? ? XY ? X Y ? ? 1 | | ? XY ? Y X , 有线性关系 , 2 3 , 2 ? ? ? ? 若 0 ? XY ? Y X , 不相关， 但 Y X , 不独立， Y X , 没有线性关系，但有函数关系 1 2 2 ? ? Y X 协方差的性质 ? cov( , ) cov( , ) X Y Y X ? ? ? ? ) , cov( ) , cov( Y X ab bY aX ? ) , cov( ) , cov( ) , cov( Z Y Z X Z Y X ? ? ? ) ( ) , cov( X D X X ? 协方差和相关系数的性质 ( ) ( ) ( ) E XY E X E Y ? ? ? ) ( ) ( | ) , cov( | 2 Y D X D Y X ? 相关系数的性质 ? ? 1 | | ? XY ? 1 | | ? XY ? 即 Y 与 X 有线性关 系的概率等于 1 ， 这种线性关系为 ? ? 1 ? ? ? ? ? X Y P . ) ( / ) ( , ) ( / ) ( Y D EY Y Y X D EX X X ? ? ? ? ? ? 1 ? XY ? 0 ) , cov( ? Y X 1 ? ? XY ? 0 ) , cov( ? Y X ? ? 1 ? ? ? ? X