用向量法求空间距离 课件.ppt

9.8 距离 用向量法求空间距离 1 PPT 课件 上节课，我们学习了用立几的方法求距离，我 们来简单回忆一下 ： 点到平面的距离 直线到与它平行平面的距离 两个平行平面的距离 异面直线的距离 2 PPT 课件 如何用向量法求解点到平面的距离呢？ 已知点 P 和面 ABCD ， A B C D P 用向量法求解就得构造向量，比如说 AP H 过 P 点作 PH 垂直平面并交平面于点 H ，则 PH 的长为所求 连 AH ，我们可以利用 直角三角形 AHP 来求解 PH , PH AP COS AP PH ? , PH AP COS AP PH ? 这样求解对吗？ 向量间的夹角范围是从 0 度到 180 度，而我们只要锐角，如 果是钝角的话是不可能存在直 角三角形中的，故应该为： 3 PPT 课件 A B C D H P , PH AP COS AP PH ? , AP PH 可是 怎么求呢？ 可以求解，可是 呢？ AP PH 我们发现， 垂直平面 ABCD ， 我们可以理解成面 ABCD 的法向量 PH n , AP PH , AP n , , PH AP COS AP PH AP COS AP n AP n AP AP n AP n n ? ? ? ? 4 PPT 课件 对点到距离的向量公式我们可以这样去理解： AP n PH n ? 即点到平面的距离等于 点 和这个平面的 任何一点 所组成向 量与此平面法向量的数量积的 绝对值 除于法向量的模，下 面，我们用一个例题来理解一下，如何用向量来求点到平 面的距离 5 PPT 课件 例题 1 ：四面体 SABC 中，三角形 ABC 是等腰三角形， AB=BC=2a ， SA=3a ，角 ABC 为 120 度角， SA 垂直面 ABC ， 求点 A 到面 SBC 的距离 这道题也是我们上一节课的例题，当时求解非常的麻烦，首先要找 垂线，而找垂线我们要先找垂面，再做两垂直平面的垂线才找到， 找到了垂线还要证明，证明完了还要通过一连串计算才把点到平面 的距离求解出来， 今天我们用向量法来求解，那么，我们来先想想步骤应该怎样： 1 ：建立空间直角坐标系，并把相应点的坐标写出 2 ：把公式中所需要的向量写出或求出 3 ：套用公式 6 PPT 课件 x y z 例题 1 ：四面体 SABC 中，三角形 ABC 是等腰三角形， AB=BC=2a ， SA=3a ，角 ABC 为 120 度角， SA 垂直面 ABC ， 求点 A 到面 SBC 的距离 S A B C 分析：我们首先要建立空间直角坐标 系，建立坐标系，要使各个点的坐标 简捷化，我们一般是观察有没有线面 垂直的情况，有的话，那条线一般标 为 z 轴，把面放在 xoy 的平面上，那么， 请同学们思考，这道题应该怎么样来 建立空间直角坐标系呢？ 以 SA 所在直线为 z 轴，以 A 为坐标原点建系 接下来我们就来写出各点的坐标 7 PPT 课件 (0,0,0), ( , 3 ,0) (0, 2 3 ,0), (0,0,3 ) A B a a C a S a x y z S A B C 3a B C A y x 0 120 接下来我们要求面 SBC 的法向量了 ( , 3 , 3 ), (0,2 3 , 3 ) ( , , ), , 3 3 0,2 3 3 0 SB a a a SC a a n x y z n SB n SC ax ay az ay az ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一个平面的法向量有很多，只要满足 上面的这个等式即可，为了计算的方 便，我们通常会要相对简洁的数字组 成的法向量，可以令 z=1 ，则得到平 面 SBC 的一个法向量了： 3 3 , ,1 2 2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8 PPT 课件 x y z S A B C 3a 接下来我们要做些什么呢？ 求点 A 到面 SBC 任一点的向量， 同样，也是数字越简洁越好 (0,0,3 ) AS a ? 接下来我们套用公式了： 3 3 (0,0,3 ) ( , ,1) 2 2 3 2 2 a AS n a d n ? ? ? 我们发现这样很快可以完成这道看似复杂无头绪的立几题，既然 用向量法那么快能把点到面