高中数学 252等比数列习题课课件 新人教A版必修5课件.ppt

第二章 数列 § 2.5 等比数列的前 n 项和 第二课时 等比数列习题课 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 课 前 热 身 1. 对等比数列定义的理解 (1) 定义还可叙述为：在数列 { a n } 中，若 a n ＋ 1 a n ＝ q ( n ∈ N * ) ，则 { a n } 是等比数列．由定义知， a 2 a 1 ＝ a 3 a 2 ＝ a 4 a 3 ＝…＝ a n a n － 1 ＝ q ，因此在 等比数列 { a n } 中，每一项均不为 0 ，且公比 q ≠ 0 ，这也是判断 { a n } 为等比数列的依据． (2) 如果一个数列从第二项起每一项与它前一项的比是一个 与 n 无关的常数，但却是不同的常数，这时该数列也不是等比数 列． (3) 常数列一定是等差数列，但不一定是等比数列．如各项 均为 0 的数列，当常数列各项均不为 0 时是等比数列． 2 ． 等比数列的通项公式 (1) 证明方法有： ①归纳法： a 2 ＝ a 1 q ， a 3 ＝ a 2 q ＝ a 1 q 2 ， a 4 ＝ a 3 q ＝ a 1 q 3 ，…， a n ＝ a 1 q n － 1 . ②累乘法： a n ＝ a n a n － 1 · a n － 1 a n － 2 · a n － 2 a n － 3 … a 2 a 1 · a 1 ＝ a 1 · q n － 1 . ③迭代法： a n ＝ a n － 1 q ＝ a n － 2 q 2 ＝… ＝ a 2 q n － 2 ＝ a 1 · q n － 1 . (2) 由定义及通项公式可推出一些结论，应用它们可使解题 简便． 设 a n ， a m 为等比数列 { a n } 中任两项，有： a n ＝ a m q n － m . a m · a n ＝ a m ＋ k · a n － k . (3) 用函数的观点研究通项， a n ＝ a 1 q n － 1 ＝ a 1 q · q n ＝ c · q n ( c ＝ a 1 q 为 常数 ) ，由此可知，等比数列的图象是函数 y ＝ c · q x 的图象上一些 孤立的点． 3 ． 等比中项 如果三个数 x ， G ， y 组成等比数列，则 G 叫做 x 和 y 的等比中 项，如果 G 是 x 和 y 的等比中项，那么 G x ＝ y G ，即 G 2 ＝ xy ，故 G ＝ ± xy . 因此， xy 0 ，且 x 和 y 的等比中项是两个． 4 ． 等比数列的前 n 项和 (1) S n ＝ ? ? ? ? ? a 1 ? 1 － q n ? 1 － q ? q ≠ 1 ? ， na 1 ? q ＝ 1 ? . 当等比数列的公比是字母参数时，一定要分类讨论求和． (2) S n ＝ a 1 ? 1 － q n ? 1 － q ＝ a 1 1 － q － a 1 1 － q · q n ＝ c － cq n ( 其中 c ＝ a 1 1 － q ≠ 0) ． 因此，非常数列的等比数列的前 n 项和可表示为 S n ＝ c · (1 － q n ) 的形式，其中 c ≠ 0 ， q ≠ 0. (3) 由通项公式与前 n 项和公式知，有五个量 a 1 ， a n ， S n ， n ， q 可知三求二． 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 等比数列的运算 一 【例 1 】 已知等比数列 { a n } 的各项都是正数， S n ＝ 80 ， S 2 n ＝ 6560 ，且在前 n 项中，最大的项为 54 ，求首项 a 1 和公比 q . 典 例 剖 析 【解】 由 S n ＝ 80 ， S 2 n ＝ 6560 ，知 q ≠ 1. ∴ ? ? ? ? ? ? ? a 1 ? 1 － q n ? 1 － q ＝ 80 ， ① a 1 ? 1 － q 2 n ? 1 － q ＝ 6560 ， ② 解得 q n ＝ 81. ∵ a 1 0 ， q 1 ，∴ { a n } 为递增数列． ∴前 n 项中最大项应为 a n . ∴ a 1 q n － 1 ＝ 54 ，又 q n ＝ 81 ，代入①式得 a 1 ＝ q － 1 ， ∴ ( q － 1)· q n － 1 ＝ 54. ∴ q － 1 q · q n ＝ 54 ， q － 1 q ＝ 54 81 ，∴ q ＝ 3 ， a 1 ＝ q － 1 ＝ 2. ∴ a 1 ＝ 2 ， q ＝ 3. 等比数列前 n 项