有关投资的收益与风险的建.docVIP

PAGE1 / NUMPAGES8 关于投资的收益和风险的建模 傅园旭 李冲 程龙 指导教师：刘利斌 摘要：1.本文建立了一个关于资产组合的收益最大化风险最小化的数学模型 2.本文通过在考虑风险一定时收益最大化，再考虑收益一定时的风险最小化的资产最优组合模型，并对最终的结果进行了优化处理，最终推广到一般的投资之中。 一 问题的重现 市场上有N种资产Si可供选择，某公司有一笔数额为M的相当大量的资金可以用做一个时期的投资。公司的财务分析员经过分析估算出在这一时期内购买Si的平均收益率为ri，风险损失率为：qi。考虑到投资越分散，总的风险越小，购买额不超过ui时，按交易费购买ui计算。银行存款利率为ro，无交易费，无风险。 已知n=4时的相关数据如下： 表一 Si ri（%） qi（%） pi(%) ui(元) S1 28 2.5 1 103 S2 21 1.5 2 198 S3 23 5.5 4.5 52 S4 25 2.6 6.5 40 要求设计给该公司设计投资方案，使得既有投资，又有存款，并且使得收益尽可能的大，风险尽可能的小。 试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算； 表二 Si ri（%） qi（%） pi(%) ui S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 401 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397 S7 40.7 68 5.6 178 S8 31.2 33.4 3.1 220 S9 33.6 53.3 2.7 475 S10 36.8 40 2.9 248 S11 11.8 31 5.1 195 S12 9 5.5 5.7 320 S13 35 46 2.7 267 S14 9.4 5.3 4.5 328 S15 15 23 7.6 131 经过分析可知这是一道属于最优化的问题，要使得投资收益尽量的大，风险尽量的小。可以分成两类考虑：即：1)风险一定，收益最大化。2）收益一定，风险最小化。 文中的符号说明： Si：第i种资产 ri：购买Si的平均收益率 qi：这一时期内购买Si的风险损失率 ui：购买Si的给定值 r0同期银行存款率 Qi：购买Si的风险大小 M：某公司一笔数额的资金 Q：总体风险 xi：购买Si的资金 x0：用于存款的资金 ci：交易费 w：净收益 第i种和第i-1种净收益之差 ：第i种和第i-1种总体风险之差 二 模型假设 1、该公司在某一时期是一次性的投资。 2、该公司在购买Si时不允许，用全部资金购买。 3、不考虑通货膨胀及其它风险情况。 4、银行存款利率不变为：r0 5、总体风险用最大的那个投资Si表示。 6、假设净收益为除去所有支出所剩的利润。 三 模型的建立 一 基本模型： 1.目标方程：考虑到在风险一定的情况下，总收益的最大化。并且考虑到银行存款既无风险也无交易费，则把它单独划出来。目标函数表示如下： （1） 2.约束条件： 用损失与投资之比衡量风险的大小： （2） 组合投资的总风险为： （3） 即有综合以上个式有： （4） 3.对于给定了风险Q：我们可以建立出如下的模型： （二） 模型的优化 在正常的情况下，投资者的投资目的就是使收益竟可能的大，并且使风险竟可能的小。一般情况下，随着投资的集中，可以使得收益逐渐变大，同时也使得风险增大，所以，投资者希望可以在风险增加竟可能小的情况下，使得收益竟可能的大。否则投资将失去了原有的意义，不能达到增殖的作用了。因此，寻找一个合适的风险，使得投资者的投资觉得是有收益的就很重要了，我们可以建立一个W—Q的函数关系，拟合出一条曲线，构造出一个寻找最有投资组合指标：=Q 优化模型：对于一个给定的风险： s.t （三） 问题的解决 1.由表一可知，该四种资产中，最大的风险损失率为0.055，我们可以把取步长为0.0025，并进行求解，在一系列风险中，最大收益对应的各种投资Si的数目xi以及对银行存款的数目x0的方案， 结果为表3。 表三 Q w x0 x1 x2 x3 x4 0 0.05 1 0 0 0 0 0.0025 0.1138 0.5719 0.1 0.1667 0.04545 0.09615 0.005 0.1776 0.1581 0.2 0.3333 0.9019 0.1932 0.0075 0.2089 0 0.3 0.5 0.1363