《量子力学》课程报告.docVIP

课程设计：量子力学基本原理分析理解 课程设计目的：加深对量子力学基本原理的理解和应用 说明量子力学中粒子的状态是用波函数描写 德·布罗意根据经典质点力学同几何光学相似这一特点，提出物质波的假说：一个能量为E、动量为P的质点同时具有波动性，其波长由动量P确定，频率V由能量E确定： E=hv P=n 从而得出描写自由粒子的平面波： 而当粒子受到随时间或位置变化的力场作用时，就不能用平面波描写，只能用较为复杂的波来描写。由微观客体的波粒二象性的分析，我们可以看到，微观客体具有波动性，而且是一种统计意义下的波——几率波：波在空间某处的强度只确定微观客体以微粒形式出现在该出的几率。 在一定时刻t，几率波为空间位置（x,y,z)的函数，我们把该函数写为，称为波函数，几率波的强度与成正比。玻恩就此提出了波函数的统计解释：波函数在空间某一点的强度和在该点找到粒子的几率成正比。 用叠加原理分析双缝干涉实验 设代表当缝S2关闭时通过缝S1的光子的态，代表S1关闭时通过S2的光子的态。在这两种情况下，光子在空间的几率分布分别为。当S1和S2两个缝都开着时，光子的态是式中c1和c2是复数。 对于一般情况，如果是体系的可能状态，则它们的线性叠加 ： 也是这个体系的一个可能状态。 当双缝都开着时，光子既在态，又在态，光子在空间的几率分布为： 上述右边第一项是粒子通过上狭缝出现在屏幕P点的几率密度，第二项是粒子穿过下狭缝出现在屏幕P点的几率密度，第三、四项是的干涉项。上式告诉我们：粒子穿过双狭缝在P点出现的几率密度一般不等于粒子穿过上狭缝到达P点的几率密度与穿过下狭缝到达P点的几率密度再加上干涉项。在两波相叠加的区域中起作用，产生干涉现象。 建立薛定谔方程 薛定谔在德布罗意关于物质波的概念启示下，通过对力学和光学的分析、对比提出了电子的波方程。这样的方程必须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程，还应是线性的，方程的系数不应包含状态的参量。 由自由粒子的波韩顺方程进一步推广到一般的情况中，自由粒子的波函数方程： 将（1）式对时间求偏微商，得到： 再将（2）式对坐标求二次偏微商，得到： 将上述三式相加，得： 自由粒子的能量和动量的关系式为： 由二三式得到自由粒子波函数所满足的微分方程： 将二三式改写为： 由（6）（7）可得能量Ｅ和动量Ｐ各与下列作用在波函数上的算符相当：　这两算符分别称为能量算符和动量算符。 将（４）式两边乘上，再乘以（８）式，即得微分方程（５） 利用（８）式建立力场中粒子波函数所满足的微分方程。设粒子在力场中势能为Ｕ（ｒ），得粒子能量和动量的关系式： 上式两边乘以，并将（８）代入，得所满足的微分方程： 这个方程称为薛定谔方程。 四、证明动量算符是线性厄密算符 动量P对应的动量算符=，对于任意的两个波函数，用动量算符进行作用： 对于 的任意线性组合，的作用是，满足线性关系。 上式满足厄密算符的关系， 所以，动量算符为线性厄密算符。 分析本征函数的性质 1 本征值必是实数。 证：设为力学量A的本征值，为相应的本征函数， 则：A= 做内积：（，A）=（，）=（，） （1） 取复数共轭： 由厄密算符得： 与式（1）比较得，故本征值为实数。 2 分属于不同本征值的本征函数正交 而，则 做内积： 取复数共轭得： 与（1）式相减，有但，所以 3 本证函数构成一个完备的函数系——任何一个波函数都可以任何一个力学量的本征函数的线性叠加来表示：。