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高中新课标数学基础知识汇总 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或文氏图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 3．（1）含个元素的集合的子集数为,真子集数为；非空真子集的数为； （2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况； （3）； 第二部分 函数与导数 1．映射：非空数集到非空数集的一个对应； 注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数的三要素：解析式、定义域、值域； 函数解析式的求法:待定系数法、换元法、代入法求表达式； 函数定义域的求法：求函数解析式有意义时自变量的取值范围。 （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数函数的真数大于零； （4）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； （5）正切函数的定义域不等于， 函数值域的求法（最值）：①分析法 ；②配方法 ；③利用函数单调性（导数法）；④基本函数的值域 ； ⑤利用均值不等式 ；⑥利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）； 3．复合函数的有关问题 复合函数单调性的判定：①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：在区间上是增（减）函数当时； ⑵判定函数单调性的定义法：注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式， 以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。 （2）三角函数的周期 ① ；② ；③； ④ ；⑤； ⑶函数周期的判定：①定义法（试值） ②图像法 ③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论：①或 的周期为；②的图象关于点中心对称周期；③的图象关于直线轴对称周期为； ④的图象关于点中心对称，直线轴对称周期； 8．基本初等函数 ⑴幂函数： （ ；⑵指数函数：； ⑶对数函数:；⑷正弦函数:； ⑸余弦函数： ；（6）正切函数：；⑺二次函数：； ⑻其它常用函数：①正比例函数：；②反比例函数：；特别的， 函数； 9．二次函数：⑴解析式：①一般式：；②顶点式：， 为顶点；③零点式： 。 ⑵二次函数问题解决需考虑的因素：①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 ⑶二次函数问题解决方法：①数形结合；②分类讨论。 ⑶三个“二次”之间的关系：①利用图像记住不等的解集；②利用二次函数解决方程根的分布： 10．函数图象⑴图象作法 ：①描点法（注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换： 平移变换：ⅰ，———左“+”右“-”； ⅱ———上“+”下“-”； 伸缩变换： ⅰ， （———纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍； ⅱ， （———横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍； 对称变换：ⅰ；ⅱ； ⅲ ； ⅳ； 翻转变换：ⅰ———右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）； 　　　　　　　ⅱ———上不动，下向上翻（||在下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明 (1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上； （2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然； 注：①曲线关于点的对称曲线； 　　②曲线关于直线的对称曲线； 　　③曲线关于直线的对称曲线 　　　曲线关于的对称曲线 12．函数零点的求法：⑴直接法（求的根）；⑵图象法；⑶二分法. 13．导数 ⑴导数定义：在点处的导数记作； ⑵常见函数的导数公式: ①；②；③； ④；⑤；⑥；⑦；⑧； ⑶导数的四则运算法则：； 　⑷复合函数的导数：； ⑸导数的应用：①利用导数求切线方程： ②利用导数判断函数单调性：ⅰ 是增函数；ⅱ 为减函