人教版初三数学上册二次函数中的平行四边形存在性问题两定两动型.docVIP

二次函数中的平行四边形存在性问题（两定两动型） 教学设计 旬阳县城关一中 黄 涛 目标：1、通过典型例题及其变式训练，进一步巩固二次函数中的平行四边形及特殊平行四边 形存在性问题的解题思路和方法，体会数形结合和分类讨论思想的应用过程。 2 、通过本节课的学习，感受一题多解的过程及方法，提高学生分析问题和解决问题的 能力。 重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。 难点：根据条件求平行四边形的顶点中动点坐标的求解。 过程： 一、典型例题 如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0），C（0， 5 2 ）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 M为 x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N四点构成的四边 形为平行四边形？若存在，求点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 问题 1： 如何用待定系数法确定适当的解析式形式？ ①抛物线上已知三点，可用一般式 y=ax 2+bx+c； ②因为在已知的三点中， A、B两点为抛物线与 x 轴交点，则可用交点式 y=a(x-x 1)(x-x 2) 。 问题 2： 如何借助一定的方法通过画图的方式找到 M、N点？ 先确认已知点 A、C，连接 A C，根据四边形顶点的无序性利用分类讨论思想分别以 AC为 边和以 AC 为对角线两种情况进行作图讨论，作图依据平行四边形对边平行且相等的性质进 行。 问题 3： 通过怎样的方法和手段获取点 N的坐标？ 可利用以下四种方法或依据得出符合条件点 N的坐标。①依据对称性求点 N坐标②利用 三角形全等及数形结合思想求点 N坐标③依据平行四边形对边平行且相等利用平移求点 N坐 标④依据抛物线解析式设点 N坐标为（m， 1 2 m 2﹣2m﹣ 5 2 ），利用数形结合思想借助 N点与 C 点纵坐标相等的原则列得绝对值方程，将所有符合条件的点 N 及其坐标完全覆盖得解，注 意取舍（这是本题最简方法）。 解：（1）解法 1： 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-5) （a≠0），将 C（0， 5 2 ）代入得： a(0+1)(0-5)= 5 2 解得：a= 1 2 ∴二次函数的解析式为： y= 1 (x+1)(x-5) 即 y= 2 1 x 2 2﹣2x﹣ 5 2 解法 2： 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c（a≠0）， ∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， 5 - ）三点在抛物线上， 2 ∴ ， 解得 . ∴抛物线的解析式为： y= 1 2 x 2﹣2x﹣ 2﹣2x﹣ 5 2 (2) 解法 1：存在，理由如下： ①以 A C为边时，当 N点位于 x 轴下方时，若四边形 ACNM为平行四边形，则 C N∥AM ∴N与 C纵坐标相等 ∴点 N与点 C关于抛物线对称轴直线 x=2 对称 ∴N（4， 5 2 ） 当点 N在 x 轴上方时， 如图，过点 N2作 N2D⊥x 轴于点 D， 在△AN2D与△M2CO中， ∴△AN2D≌ △M2CO（ASA）， ∴N2D=OC= 5 2 5 ，即 N2点的纵坐标为 2 . ∴ 1 2 5 2 m﹣2m﹣= 2 5 2 ， 解得 x=2+ 或 x=2﹣， ∴N 2（2+ ， 5 2 ）， N 3（2﹣， 5 2 ）. ②当 AC为对角线时，根据 C N∥AM，过C点作 x轴平行线与抛物线交点和 N1 重合。 5 综上所述，符合条件的点 N的坐标为（ 4，﹣ 2 ），（ 2+ ， 5 2 ）或（ 2 ， 5 2 ）. 解法 2： 若四边形 ACNM为平行四边形，则C N∥AM，AC∥M N，N位于 x轴下方时 ∵A(-1 ，0) ,C （0， 5 2 ）向下平移 5 2 个单位，则M到 N也向下平移 5 2 ， 5 ∴N点纵坐标为 2 ，横坐标可利用对称或解析式求解。 5 同理在 x轴上方时， N点的纵坐标为 2 ，进而求解。 解法 3： （N点位置 x轴上下同步求解）设N点坐标为（ m， 1 2 5 m ） 2﹣2m﹣ 2﹣2m﹣ 2 ∵C点纵坐标为5 2 5 ，根据平行四边形性质可知 N点纵坐标的绝对值为 2 ∴∣ 1 2 5 2 m﹣2m﹣∣ = 2 5 2 得方程： 1 2 5 m = 2﹣2m﹣ 2﹣2m﹣ 2 5 2 或 1 2 5 m = 2﹣2m﹣ 2﹣2m﹣ 2 5 2 解上述方程，舍去 x=0 后代入得点 N的坐标。 【本题考点】二次函数综合题，待定系数法，抛物线对称轴与对称点的坐标关系，一元二次 方程与二次函数关系，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质。数形结合及分类讨论 等数学思想。 二、变式训练 变式 1：在（ 1）的条件下，点 M为 x轴上一动点，在坐标平面中是否 存在点 N，使以 A，C，M， N四点构 成的四边形是以 AC为边的菱形？ 若存在，求点 N