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从算术思维过渡到代数思维 台湾师大数学系博士班谢佳睿 一般说来，数学思维可以说是运用数学概念，去判断、推理数学内容，以认识或解决 数学问题的心理历程，其中算术思维与代数思维更展现出某种承接关系。数学家兼数学史 家 Cajori （1859-1930）曾经说过：「要探索算术的最好方法， 就是研究代数 1。」；Booth(1984) 也曾提出：「如果学生不能理解两个集合 ( 假定分别含有 5 个和 8 个)对象的总数可以写成 5+8，那么要他们理解 a+b 表示了两个集合（分别含有 a 个和 b 个）对象的总数就更不可能 了。」这都指出了算术思维与代数思维的关联。 在进一步论述如何从算术思维过渡（ transition ）到代数思维之前，我们将对这两种 思维型态作初步的认识与了解。 一、算术思维与代数思维 何谓算术思维？代数思维？以及这两种思维之间的界线为何？从古至今众说纷纭。 Usiskin(1999)认为代数思维关系到四个不同的概念： 算术的一般化 、解特定问题的过程、 数量关系的探索和结构的探索 ；而学校的教材则经常指涉代数思维是算术思维的延伸；有 些则将代数思维界定在 符号的演算 上；有些则是认为代数思维在于「 求方程的思维」；有些 则认为代数思维重视的是结构化 的想法；有些则将代数思维界定在对运算（ operator ）的 思考 上；而有些则认为代数思维的核心在变量概念的类化 ；有些甚至将代数思维归结到 对 函数的思考 ；? ，难以枚举。由于各家对此两种思维莫衷一是，因此本文不对这两种思维 给出明确界定，而只由一些实例来对这两种思维型态作初步的了解与区分。 ▓ 从两个例子来看这两种思维在解题中扮演的角色 为了进一步说明这两个思维的差别与承接关系，我们先从一个常见的例子着手： 例：小明有 24 元，买了 5 枝相同的铅笔后，还剩 4 元。问每枝铅笔是多少钱？ 学生在面对这个问题时，可能采用这样的解题方式： 24-4＝20 （还剩 4 元，表示花掉了 24-4 元，也就是 5 枝笔的价格为20 元）? ? （1） 20÷5＝4 （5 枝笔的价格为20 元，因此每枝笔为20 除以 5，也就是 4 元）? ? （2） 其中式子（ 2）学生也可能采用这样的方式： 20＝5×4 或 5×4＝20 （5 枝笔的价格为20 元，又因为5 乘以 4为20，所以每枝笔是 4 元） ? ? （3） 上述式子（ 1）- （2）或（ 3）的解题方式，都可视为学生在解题时运用了算术思维， 如要再加以细分，（1）- （2）式用的是逆向思考， （3）式是数的合成分解。 另一种的解决这个问题的思考方式，是先假设每枝铅笔的价格是 x 元，并依题意列出 底下的式子： 24－5x＝4 ? ? （4），再利用等量公理或移项法则求出 x值。 1 取自 Moritz, R. E. 所编之《 On Mathematics-A collection of witty, profound, amusing passages about Mathematics and Mathematicians》 23 式子（4）的方式，可视学生为运用了代数思维进行解题。 （当然在真正解题时，学生 使用的方式可能更为多样，在此仅为说明方便列举此两种方式） 从这个例子可以感受到，在算术思维中，着重的是利用数量的计算求出答案的过程， 这个过程是 程序性的、含情境的、具有特殊性的、计算性的，甚而建立在直观上 ；相对的， 代数思维倚重的是 关系的符号化及其运算 ，这个运算是 结构性的 、去情境的 、具有 一般性 的、 形式化的 ，并且在某种程度上是无法依赖直观的。在算术思维中，表达式的功用是一 种思考的纪录，是直接联结题目与答案的桥梁；而在代数思维中，表达式的功用，不再只 是直接联结问题与答案之间的过程纪录，也充当一个问题转译的角色，因此，从代数思维 的角度来看，解具体情境题被区分成两个部分：列式与求式子的解。 被区分成列式与求式子的解两部分的特征与算术思维是不同的。当问题被转译成代数 式子后，接下来所做的求解运算并不是针对原问题的答案，而是代数式子（或方程式）的 解，而这个过程是一种与原问题、情境无关的形式（符号）运算，运用的是具有结构性与 抽象性的运算法则，最后再对求出的解进行意义上的还原。这种始于问题转译、对消还原 的代数思维，扩展到符号化、一般化、抽象化及结构化的代数概念，许多学者就认为中间 需通过算术思维，尤其是对数量关系的操作与观察。也因为如此，一 般认为代数思维的养 成在算术思维之后，且必须奠基于算术思维之上。 另一个例子则取自 83 年版之国中选修数学第二册教师手册： 例：有一矩形，长宽相乘得面积 252 ，长宽相加得 32 ，则长宽各若干？ 解：取 32之半得 16， 16×1