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高等代数（北大第三版）答案 目录 多项式第一章 行列式 第二章线性方程组第三章 矩阵第四章 二次型 第五章线性空间 第六章 线性变换第七章 ?—矩阵 第八章欧氏空间 第九章双线性函数与辛空间 第十章 注：该为第二部分谢答案分三部分，其他请有哪些信誉好的足球投注网站，， 谢！ A?0nnX?0A，使级实对称矩阵，且维向量为一个，证明：必存在实 12．设?AX?X0。 ?? 0??0AA?AranknA不是正定矩阵。故必存在非因为 ，于是，所以，且证?1YCX? 使退化线性替换????1???BYACYY?CXYAX? 222222?y?y??y???y?y?y?， np11?p22?p?1y?y???yY?CZ 中，令且在规范形中必含带负号的平方项。于是只要在p12?0,y?y???y?1,则可得一线性方程组 np?1?2pcx?cx???cx?0?n11211n12???????????????cx?cx???cx?0?n12p2p1pn ， ?cx?cx???cx?1?p?1,nn11?1,22p?1,p???????????????cx?cx???cx?1?n212nnn1n?? 0?Cx?,,x,X?x使由于 ，故可得唯一组非零解ns1ss2s????0?p?1??Xn??0?0???0?1?1?AX ，ss?AXX?0X?0。 即证存在，使nB,AA?B也是正定矩阵。都是 阶正定矩阵，证明： 13．如果??BXXAXX,BA,为正定二次型，且 因为为正定矩阵，所以 证 ??BX??0X0XXA， ， 因此 ?????X??BX?0XBX?AXXA ， ???XBAX?A?B为正定矩阵。于是必为正定二次型，从而 ??x,,f?x,x是半正定的充分必要条件是它的正惯性指数与秩相等。 证明：二次型． 14n21p?r?pr。即 证必要性。采用反证法。若正惯性指数，则 秩??22222?y?y???y?y???yx,,fxx?,， n12r1?12pp 若令 y???y?10?y?y???y， ，rp?1p21??????x?,x,x,?,xf?x,x,?,x0f,x,x 使。这与所给条件则可得非零解n212n2n11p?r0?。矛盾，故 p?r，知充分性。由 ??222y??y?y??xx,?,fx,， n21p21???x0,?,fxx,，即证二次型半正定。故有 n212nn????2xx?n?? 是半正定的。 15．证明：ii??1i?i?12nn????2xn?x?? 证 ii??1i?1?i??222??xx???nx? n12??222xx?2x?2x????2xx?2xxx????x??x?2xx? n113nn2n11n222?????222??xx?x??????2xx2xx???2xx1n?? （n1231n2122xx???2xx） nn?21n??????222222xx?2xx??x2xx??x?2xx?x????x n112n2311n?11n3???2?xx?? 。jin1?i?j? 可见：x,x,?,x不全相等时 当 1）n21????2?x,,?f,xx0?x?x? 。n12jinj??i?1x????xx 时2） 当n21????2?x,?f,xx,0x?x?? 。 n21ji1?i?j?n??x?,x,xf,是半正定的。 故原二次型n21???X,?x?xfx,AX,XX,n．设使 16是一实二次型，若有实维向量 n1221??AX?X?00XAX ，。 122． ?AX?0X0X?n使维向量 。证明：必存在实000X?CYAr将原二次型化为标准型，作非退化线性替换 设 的秩为222?Xdyy?dy???AX?d ，r2r121XX,d 为1或-1。由已知，必存在两个向量其中使21r??AX?X0XAX?0 ， 和 1122d,?,dpq个-1，，，也不可能全为故标准型中的系数-1。不