几种分式型递推数列的通项求法.docVIP

几种分式型递推数列的通项求法 李云皓 (湖北省宜昌市夷陵中学，湖北 宜昌 443000) 1.1 引言 数列是高中数学中的重要内容之一，是高考的热点，而递推数列又是数列的重要内容。数列中蕴含着丰富的数学思想，递推数列的通项问题也具有很强的逻辑性和一定的技巧性，因此此类问题也经常渗透在高考试题和数学竞赛中。本文对分式型递推数列求通项问题作一些探求，希望对大家有所启发。 2.1 基本概念 设数列{an}的首项为a a 其中αi、βii=1,2,?为常数，同时α2≠0, a 2.2 递推式的特征方程与特征根 我们先来看一个引例： 首项为a1，由递推式an+1a a ∴ 即 1 为常系数等比差数列（由递推式an+1=αan a 于是考虑能不能变型后让②中的γ没有，即让①中的β1没有。 下面给出特征方程推导过程： 数列的递推式为 a 两边同时减去x得 a 通分后得 a ∴ 令 β 即 α ∴ 方程③保留了原递推式的特征，故称为该递推式的特征方程，x为特征根。 3.1 例题（第一部分） 下面我们通过几个例题来说明特征方程的应用。 [ 解 a 两式相除得 a 由此可见，数列 ∴ ∴ 故当方程③有两不等实根时，可用此方法求出通项公式。 [ 解 a 两边同乘3得 3a 两边取倒数 1 ∴ ∴ 故当方程③有两相等实根时，也可用此方法求出通项公式。 [ 解 a 两式相除得 a ∴ ∴ 由此，当方程③有两虚数根时，用此方法求通项公式也是正确的。 3.2 例题（第二部分） 下面我们来看另一类型的分式递推式。 [ 解 1 1 1 1 ∴ 还要两边再取倒数还原，请读者自己完成化简 [ 解 2 令b ∴ 2 2 2 令2 即 b 1 1 1 下面的递推请读者自己完成 4.1 练习 练习 练习 练习 练习 练习 练习 练习 练习 练习