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专题三 三角函数
知识要点
任意角的三角函数:
弧长公式: R为圆弧的半径,为圆心角弧度数,为弧长。
扇形的面积公式: R为圆弧的半径,为弧长。
同角三角函数关系式:
①倒数关系: ②商数关系:,
③平方关系:
诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限)k·/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性
函 数
2.两角和与差的三角函数:
(1)两角和与差公式:
注:公式的逆用或者变形
(2)二倍角公式:
从二倍角的余弦公式里面可得出
降幂公式: ,
(3)半角公式(可由降幂公式推导出):
, ,
3.三角函数的图像和性质:(其中)
三角函数
定义域
(-∞,+∞)
(-∞,+∞)
值域
[-1,1]
[-1,1]
(-∞,+∞)
最小正周期
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
单调递增
单调递减
单调递增
单调递减
单调递增
对称性
零值点
最值点
,
;
,
无
4.函数的图像与性质:
(本节知识考察一般能化成形如图像及性质)
函数和的周期都是
函数和的周期都是
五点法作的简图,设,取0、、、、来求相应的值以及对应的y值再描点作图。
关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。(附上函数平移伸缩变换):
函数的平移变换:
① 将图像沿轴向左(右)平移个单位
(左加右减)
② 将图像沿轴向上(下)平移个单位
(上加下减)
函数的伸缩变换:
① 将图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的倍(缩短, 伸长)
② 将图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A倍(伸长,缩短)
函数的对称变换:
= 1 \* GB3 ①) 将图像绕轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于轴对称)
= 2 \* GB3 ②将图像绕轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于轴对称)
③ 将图像在轴右侧保留,并把右侧图像绕轴翻折到左侧(偶函数局部翻折)
= 4 \* GB3 ④保留在轴上方图像,轴下方图像绕轴翻折上去(局部翻动)
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)-β,β=-等。
(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+),这里辅助角所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=确定。
二、沙场点兵
一、基础题
1.已知tanx=2,求sinx,cosx的值.
2.求的值。
3.若,求sinxcosx的值.
4.求证:tan2x·sin2x=tan2x-sin2x.
5.求函数在区间[0,2??]上的值域.
6.求下列函数的值域.
(1)y=sin2x-cosx+2; (2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx).
7.若函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为,它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.
8.已知函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值.
数的值域.
已知,求(1);(2)的值.
10、求函数的值域。
已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 (x∈R),当函数y取得最大值时,求自变量x的集合。
二、选择题
1. 是 ( )
A.最小正周期为的偶函数 B.最小正周期为的奇函数
C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的奇函数
2.为得到函数的图象,只需将函数的图像( )
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
3.若且是,则是 ( )
A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
4.函数的最大值为 ( )
A.1 B. C. D.2
5.函数图像的对称轴方程可能是 ( )
A. B.
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