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学 海 无 涯 函数对称性与周期性几个重要结论 一、几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数 y f (x) 满足 f (T +x) f (T −x) （T 为常数）的充要条件是 y f (x) 的图 象关于直线 x T 对称。 2 、函数 y f (x) 满足 f (x) f (2T −x) （T 为常数）的充要条件是 y f (x) 的图象 关于直线 x T 对称。 3 、函数 y f (x) 满足 f (a +x) f (b −x) 的充要条件是 y f (x) 图象关于直线 (a +x) + (b −x) a +b x 2 2 对称。 y f (x) f (T +x) f (T −x) f (T +x) f (T −x) T T 1 1 2 2 1 2 4 、如果函数 满足 且 ，（ 和 y f (x) 2(T −T ) 是不相等的常数），则 是以为 2 1 为周期的周期函数。 5 、如果奇函数 y f (x) 满足 f (T +x) f (T −x) （T  0 ），则函数 y f (x) 是以 4T 为周期的周期性函数。 6 、如果偶函数 y f (x) 满足 f (T +x) f (T −x) （T  0 ），则函数 y f (x) 是以 2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 y f (x) 与 y −f (x) 关于X 轴对称。 2 、曲线 y f (x) 与 y f (−x) 关于Y 轴对称。 3、曲线 y f (x) 与 y f (2a −x) 关于直线 x a 对称。 4 、曲线 f (x,y ) 0 关于直线 x b 对称曲线为 f (x,2b −y ) 0 。 5、曲线 f (x,y ) 0 关于直线 x +y +c 0 对称曲线为 f (−y −c,−x −c) 0 。 6、曲线 f (x,y ) 0 关于直线 x −y +c 0 对称曲线为 f (y −c,x +c) 0 。 7、曲线 f (x,y ) 0 关于点 P(a,b) 对称曲线为 f (2a −x,2b −y ) 0 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 f (x) 恒满足 f (1+x) f (1−x) ，且 x (−1,0) 时, 1 f (x) 2x + 5 ,则 f (log 2 20) ________ 。 2 、已知函数 y f (x) 满足 f (x) +f (2 −x) 0 ，则 y f (x) 图象关于__________对 1 学 海 无 涯 称。 3、函数 y f (x −1) 与函数 y f (1−x) 的图象关于关于__________对称。 4 、设函数 y f (x) 的定义域为R ，且满足 f (x −1) f (1−x) ，则 y f (x) 的图象关 于__________对称。 5、设函数 y f (x) 的定义域为R ，且满足 f (x +1) f (1−x) ，则 y f (x +1) 的图 象关于__________对称。 y