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姚X-必修5-第1、2章
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数列(一)
一、知识要点
(一)数列
1、定义:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中每一个数叫做这个数列的项。数列的一般形式:a1,a2,a3,…,an,…简记为{ an }。
2、通项公式:如果数列的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3、递推公式:如果已知数列的第1项(或前n项),且任一项an与它的前一项an-1(或
前n项)间的关系可以用一个公式来表示,则这个公式叫做这个数列的递推公式。
(二)等差数列
1、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的 都等于同一个 ,则这个数列就叫做等差数列。即an+1-an=d(公差)
2、通项公式:a n = 或;
3、前n项和公式:Sn = 或Sn =
4、等差中项:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=
5、重要性质:(1)若m+n=p+q,则
特例:若m+n=2p,则
(2)连续每m项之和,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m
二、学法指导
1、由于数列可以看作一个关于n(nN+)的函数,因此它具备函数的某些性质。若。等差数列的an是n的一次函数;Sn是关于n的二次函数,利用其几何意义可解决Sn的最值问题。
2、将等差数列问题化归为基本量的关系来解决是通性通法,五个基本量是a1、an、d、n、Sn知道任意三个元素,可建立方程组,求出另外两个元素,即“知三求二”。
3、已知三个数成等差数列,可设这三个数为,也可设为;若四个数成等差数列,可设为。
三、例题分析
例1、数列的前5项分别是以下各数,写出数列的一个通项公式
(1)-,,,, (2)9,99,999,9999,99999
变式1:写出下列数列的一个通项公式
(1)3,5,9,17,33,… (2),,,,
例2、判断下列数列是否是等差数列。
(1) (2)
变式2:已知成等差数列,试证:也成等差数列。
例3、已知是等差数列,a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前10项和S10等于( )
A.64 B.100 C.110 D.120
变式3:(10辽宁)设为等差数列的前n项和,若,,则
例4、(1)(11重庆)在等差数列中,,则
(2)设等差数列的前项和为,若,则
变式4:(1)(09湖南)设Sn是等差数列的前n项和,已知a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.35 C.49 D.63
(2)(10全国)如果等差数列中,,那么( )
A.14 B.21 C.28 D.35
例5、已知是一个等差数列,且,(1)求的通项;(2)求的前n项和Sn的最大值。
变式5:(10全国)设等差数列满足,
(1)求的通项公式;(2)求的前n项和及使得最大的序号n的值。
例6、已知数列为等差数列,Sn为数列的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn。
变式6:设等差数列的前项和为,若,,则等于 ( )
A.63 B.45 C.36 D.27
四、课后练习
1、写出下列数列的一个通项公式,
(1) ,,,,,… (2),3,,,,…
2、已知等差数列a1,a2,a3,…,an的公差为d,则ca1,ca2,ca3…,can(c为常数,且c≠0)
是( )
A.公差为d的等差数列 B.公差为cd的等差数列
C.非等差数列 D.以上皆非
3、记等差数列的前n项和Sn,若a1=,S4=20,则S6=( )
A.16 B.24 C.36 D.48
4、已知等差数列的前三项为a-1,a+1,2a+3,则它的通项公式为( )
A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+
5、已知等差数列中,a1=-22,公差d=2,则其中第一个正数项为( )
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