向量的概念及表示优秀教案.pdfVIP

学 海 无 涯 向量的概念及表示 执教:张亮 点评:孔凡海 【教学目标】 一、通过对实例的引入，了解向量概念产生的实际背景； 二、理解平面向量和向量相等的概念； 三、掌握向量的几何表示； 四、了解向量的长度、零向量、单位向量、平行向量等概念。 【重点难点】 重点：向量的概念和向量的几何表示； 难点：向量概念的理解 【点评】 知识技能，数学思考，问题解决，情感态度。目标明确有效，重点突 出。为组织、引导学生开展有效学习活动奠定了方向。 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，是沟通代数、几何的 工具。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征， 方向反映了向量形的特征，向量是集数形于一身的数学概念，是数学 中数形结合思想的典型体现。向量之所以有用，关键是它具有一套良 好的运算性质。由于向量的几何性质，以及向量、点、序偶之间的对 应关系，于是，可以把图形的基本结构转化为向量运算，把图形的基 本性质转化为向量的运算律，这就是几何问题代数化处理。这样，几 何中添线、补图等技巧让位于代数中的通法，也就是作为思辩数学的 几何问题让位于作为算法数学的代数问题。 【教学过程】 一、设置情境 情景 在如图所示的情景中，猫能否追上老鼠？ 合作探究 看下面哪些量是与众不同的： （1 ）线段的长度 （2 ）物体的质量 （3 ）物体的体积 （4 ）物体所受重力 （前三个都是数量，即只有大小，而物体所受重力是矢量，既有大小 又有方向） 1 学 海 无 涯 【点评】 根据学生的生活经验，通过问题、设疑来创设思维的情境，引起认识 的需要；通过揭露矛盾来引发思考，激发学习的兴趣。通过学生活动， 感知数学，进行意义建构。 物理中的力、速度、加速度以及几何中的有向线段等概念是向量概念 的原型。由物理上的位移、速度等引入向量概念，贴近学生已有的经 验，比较自然，也体现了“最近发展区”原理的运用。 二、探索研究 问题一 情景中向我们呈现了一个新的量，那么我们怎样用数学的形 式对这一量进行描述呢？ 1．向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量。 师：你还能举出一些向量的例子吗？ 师：在这一概念中你认为关键词有哪些？ 板书 向量的二要素 大小和方向 师：我们怎样用符号来表示向量呢？重力加速度是一个向量，那么在 物理中我们是用什么表示它的呢？ 2 ．向量的表示方法 ①几何表示法——向量常用有向线段表示 师：那么有向线段是怎样表示向量的大小和方向呢？ 有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。 以A 为起点、B 为终点的向量记为： 。大小记为：│ │ 板书 有向线段的三要素 起点、终点、长度。 ②字母表示法： 可表示为 练习 1．温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为什么？ 2 ．向量 和 同一个向量吗？为什么？ 师：我们只是用有向线段来表示向量，那么有向线段是向量吗？向量 是有向线段吗？ 【点评】 2 学 海 无 涯 注意到学生由于受物理背景的影响而导致认知的偏差，明确数学上的 向量是“自由“向量，只有大小和方向两个要素，与起点无关。消除由 于物理中力的引入而导致的误解。 问题二 数量中有“0”，“1”……，比如 0 度。向量中有没有与之类似 的量，如果有又怎样定义这些特殊的量呢？ 【点评】 通过类比联想，认识向量这个“二元”数。从已知的有理数的相似性， 推断未知的向量的相似性，进行猜想。并不满足于对相似性的模糊认 识，坚持把它们的相似性用准确的数学形式表达出来。经历数学发现 过程，体会合情推理在数学发现中的作用，发展学生的创新意识和创 新能力。逐步让学生学会建构数学知识。 3 ．特殊的向量。 (1) 零向量 长度为零的向量，记为 (2) 单位向量 长度等于一个单位的向量 师：这些向量都是从向量二要素中的大小这一特性去定义的，那么有 没有方向的特殊的向量呢？ 问题三 数量中有两数相等和两数互为相反数等特殊情况，你怎么考 虑向量中的类似问题？ 【点评】 设法造成学生“愤”、“悱”的状态，使他们想求明而不得，想说却不能。 然后引导他们去探索