函数的周期性与对称性.pdfVIP

学 海 无 涯 第5 炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或 对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1） 关于x a 轴对称 （当 时，恰好就是偶函数） f a −x f a =+x  f x a 0 ( ) ( ) ( ) a + b （2 ）f a −x f b =+x f x 关于x 轴对称 ( ) ( ) ( ) 2 在已知对称轴的情况下，构造形如f a −x f b =+x 的等式只需注意两点，一是等 ( ) ( ) a + b a ,b 式两侧 前面的符号相同，且括号内 前面的符号相反；二是 的取值保证 为 f x x 2 所给对称轴即可。例如：f x 关于 x 1 轴对称 f x f 2 =−x ，或得到 ( ) ( ) ( ) f 3 −x f =−1+x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便 ( ) ( ) ( ) （3 ）f x +a 是偶函数，则f x +a f =−x +a ，进而可得到：f x 关于x a 轴对 ( ) ( ) ( ) ( ) 称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在 中， 仅是括号中的 f (x +a ) x 一部分，偶函数只是指其中的 取相反数时，函数值相等，即 ，要 x f (x +a ) f (=−x +a ) 与以下的命题区分： 若 是偶函数，则f x +a f =− x +a  ： 是偶函数中的 占据整个括号， f x ( ) ( ) f x x ( )   ( ) 所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f x +a f =− x +a 