高中数学经典50题(附答案).docx

高中数学题库 求下列函数的值域： 解法 2 令 t ＝sin x，则 f ( t ) ＝－ t 2＋t ＋ 1，∵ |sin x| ≤1, ∴ | t | ≤ 1. 问题转化为求关 于 t 的二次函数 f ( t ) 在闭区间 [ － 1,1] 上的最值． 本例题 (2) 解法 2 通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题， 从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数 学各学科之间的内在联系， 是实现转换的关键， 转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉， 由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行， 地球恰好位于椭圆轨道的焦点处， 当此慧星离 地球相距 m 万千米和 4 m 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 3 和 ，求该慧星与地球的最近距离。 2 3 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点 F ( c,0) 处，椭圆的方程为 x 2 y 2 a 1 2 b2 （图见教材 P132 页例 1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时，由椭圆的几何意义可知，彗星 A 只 3 1 FA 2 m 能满足 xFA (或 xFA / )。作 AB Ox于 B，则 FB 3 3 2 3 m c ( a 2 c) 故由椭圆第二定义可知得 a c 4 m c ( a 2 2 m) c 3 a c 3 两式相减得 1 m c 2 m, a 2c.代入第一式得 m 1 (4c c) 3 c, 3 a 3 2 2 c 2 m. a c c 2 m. 3 3 答：彗星与地球的最近距离为 2 m 万千米。 3 说明：（ 1）在天体运行中， 彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆， 而恒星正是它的一个焦点， 该椭圆的两个焦点， 一个是近地点， 另一个则是远地点， 这两点到恒星的距离一个是 a c ， 另一个是 a c. （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现 了数形结合的思想。 另外， 数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题， 善于 挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。 3.ABC A 在 B 正东 6 C B 正北偏西 30 ，相距 4 Km ， ， ， 是我方三个炮兵阵地， Km ， 在 P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于 B，C 两地比 A 距 P 地远， 因此 4 s 后， B， C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 1 Km / s ， A 若炮击 P 地，求炮击的方位角。 （图见优化设计教师用书 P249 例 2） 解 ： 如 图 ， 以 直 线 BA 为 x 轴 ， 线 段 BA 的 中 垂 线 为 y 轴建立坐标系，则 B( 3,0), A(3,0),C( 5,2 3) ，因为 PB PC ，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上。 因为 kBC 3 ，BC 中点 D ( 4, 3) ，所以直线 PD 的方程为 y 3 1 (x 4)（ 1） 3 又 PB PA 4, 故 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线右支上。设 P( x, y) ，则双曲线方程为 x2 y2 1(x 0) （ 2）。联立（ 1）（ 2），得 x 8, y 5 3 ， 4 5 所以 P(8,5 3). 因此 kPA 5 3 30 。 8 3 ，故炮击的方位角北偏东 3 说明： 本题的关键是确定 P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。 4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶 5 米时，水面宽度为 8 米，一小船宽 4 米，高 2 米，载货后船露出水面的部分高 0.75 米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？ 解：建立平面直角坐标系 ,设拱桥型抛物线方程为 x2 2 py ( p 0) 。将 B （ 4,-5）代入 P=1.6 x2 3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过 则 A(2,y 2 得 yA = - 1.25 A )，由 2 =-3.2 y A 因为船露出水面的部分高 0.75 米 所以 h=︱ yA ︱ +0.75=2 米 答：水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时，小船开始不能通行 [思维点拔 ] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。 ． 5. 如图所示，直线 l1 和 l 2 相交于点 M ， l 1 l 2 ，点 N l 1 ，以 A 、 B 为端点的曲线段 C 上任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等。若 AMN 为锐角三角形， AM 17, AN