类等差(比)数列性质及其应用.docVIP

PAGE PAGE 1 类等差（比）数列性质及其应用 范广法（浙江省桐乡第二中学314511）sdhzmdq@163.com 一 类等差数列性质及其应用 若从第二项起，每一项与它的前一项的差小于（或大于）同一个常数，则叫做类等差数列，叫类等差数列的公差. 设，则类等差数列具有性质：若，则，；若，则，.此性质常用于一些不等式的证明，而此类不等式多以压轴题的形式出现，是高考中的难点，既考查基础知识又考查能力，对考生有很好的甄别与选拔功能.下面来探讨其应用. 例1（2014年广西高考理科第22题）函数． （Ⅱ）设，，证明: ． （笔者注：本文证明更强的结论：） 简析：考虑到不等式等价于，此式两边都是等差数列的通项．根据类等差数列的性质，仅需证不等式组成立，又（可证）与，即需证即成立，所以首先要研究当，时的单调性并找到的正负（即与的大小）． 简解：用数学归纳法易证，不赘． 当时，在上递增，即，从而，，，是类等差数列，公差为为，即①． 当时，在上递减，即，从而，，，是类等差数列，公差为为，即②，从而． 点评：由看出与类等差数列有关，是解题的关键． 例2（2014年宁波二模理科第22题）在函数的图像上取点 ，记线段PnPn+1的斜率为kn ，记．对任意正整数n，试证明：． 简析：考虑到、分别是等差数列与的前项和，根据类等差数列的性质，仅需证成立，即证，亦即证明在上成立，此不等式用导数不难证明，不赘． 点评：由看出与类等差数列有关． 二 类等比数列性质及其应用 类似地，若从第二项起，每一项与它的前一项的比都小于（或大于）同一个非零常数，则叫做类等比数列，叫类等比数列的公比.类等比数列具有以下性质：若且,则当时，，.下面探讨类等比数列性质的应用. 例3（2014年全国新课程卷Ⅱ理科第17题）已知数列满足=1，. （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：. 简析：当时，所证不等式成立；当时，易知，，，所以是以为公比的类等比数列， ，. 点评：舍弃递推式中的尾巴“1”，比较容易发现是类等比数列. 例4（2012年广东高考理科第19题）设数列的前项和为，满足，，且，，成等差数列． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数，有. 简析：（Ⅲ）当时，，所证不等式成立；当时，，，两式相减得．再由前问知知，对一切正整数都有成立.从而，所以是以为公比的类等比数列，，从而. 点评：同样，舍弃递推式中的尾巴“”，容易发现是类等比数列. 例5（2013年华约自主招生压轴题）已知. （Ⅰ）求证：当时，； （Ⅱ）数列满足，，求证：递减且. 简析：（Ⅱ）可用数学归纳法证明.先证递减：由上问知即，又，从而，即递减.再证：当时所证结论成立；当时，要证，只要证是以为公比的类等比数列，即证．考虑到，所以，从而，． 点评：由“，”可断定是以为公比的类等比数列；由（2013年陕西高考压轴题中的结论）推出了. 若将类等差数列与类等比数列有机地结合起来，会编制一些数学味道很浓的压轴题（尽管其可不用上述性质解答），如： （2002年全国高考理科第22题）设数列满足，. （Ⅱ）当时，证明对所有的，有 （ⅰ）；（ⅱ）. （模拟题）设数列满足：，，. （Ⅰ）用数学归纳法证明：； （Ⅱ）设，求证：.