高中数学必修5导学案.docx

高一数学必修 5 导学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 掌握正弦定理的内容； 掌握正弦定理的证明方法； 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验 ：固定  ABC  的边  CB  及  B，使边  AC  绕着顶点  C 转动． 思考 ：  C 的大小与它的对边  AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角  C 的大小的增大而  ．能否用一个等式把这种关系 精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究 1：在初中， 我们已学过如何解直角三角形， 角三角形中，角与边的等式关系 . 如图，在 Rt  下面就首先来探讨直 ABC 中，设 BC=a， AC=b， AB =c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 a sin A ， b sin B ，又 sin C 1 c ， c c c 从而在直角三角形 ABC 中， a b c sin A sin B ． sin C ( 探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义， 有 CD= asin B bsin A，则 a b sin A ， c b sin B 同理可得 sin C ， sin B 从而 a b c sin A ． sin B sin C 高一数学必修 5 导学案 类似可推出，当 ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导 . 新知 ：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 a b c sin A sin B ． sin C 试试 ： （1）在 ABC 中，一定成立的等式是（ ）． A ． asin A bsin B B. acosA bcosB C. a sin B b sin A D. a cosB b cosA （2）已知△ ABC 中， a＝ 4， b＝8，∠ A＝ 30°，则∠ B 等于 ． [理解定理 ] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使 a k sin A ， ， c k sinC ； （2） a b c 等价于 ， c b ， a c ． sin A sin B sin C sin C sin B sin A sin C （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 a bsin A ； b ． sin B ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如 sin A a sin B ； sinC ． b （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作 解三角形 ． ※ 典型例题 例 1. 在 ABC 中，已知 A 45 ， B 60 ， a 42cm，解三角形． 变式 ：在 ABC 中，已知 B 45 ， C 60 ， a 12cm，解三角形． 高一数学必修 5 导学案 例 2. 在 ABC中， c 6, A 45 , a 2,求 b和 B, C ． 变式 ：在 ABC中， b 3, B 60 ,c 1, 求a 和A, C ． 三、总结提升 ※ 学习小结 1. 正弦定理： a b c sin A sin B sin C 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法 . 3．应用正弦定理解三角形： ①已知两角和一边； ②已知两边和其中一边的对角． ※ 知识拓展 a b c ，其中 2R为外接圆直径 . sin A sin B 2R sin C 学习评价 高一数学必修 5 导学案 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ） . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测 （时量： 5 分钟 满分： 10 分） 计分 ： 1. 在 ABC 中，若 cos A b ，则 ABC 是（ ） . cos B a A ．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 已知△ ABC 中， A∶ B∶ C＝ 1∶1∶ 4， 则 a∶ b∶ c 等于（ A ．1∶1∶4 D．2∶2∶ 3 3. 在△ ABC 中，若  ） . B． 1∶1∶2 sin A sinB ，则  A 与 B 的大小关系为（  C． 1∶1∶ ） .  3 A. A  B  B. A  B C. A≥B  D. A、  B  的大小关系不能确定 4. 已知 ABC 中， sin A :sin B :sin C 1: 2:3 ，则 a :b :c = ． 5. 已知