函数型主成分分析及函数型线性回归模型的研究及应用.pdf

目 录 摘 要  ABSTRACT Ⅱ 第 1 章 绪论 1 1.1 研究背景 1 1.2 研究动态综述 3 1.2.1 函数型数据分析方法研究综述 3 1.2.2 函数型线性回归模型的研究综述 3 1.2.3 相依误差下的模型研究综述 5 1.3 论文安排和可能的创新点 7 第 2 章 函数型数据的预备知识 9 2.1 函数型数据及其空间 9 2.2 函数型数据的预处理 10 2.3 基函数拟合的步骤 12 2.4 函数型数据分析的优势 12 2.5 本章小结 12 第 3 章 函数型主成分分析 14 3.1 Karhunen-Loéve 展开式 14 3.2 主成分分析原理 15 3.3 函数型主成分分析 17 3.3.1 函数型主成分分析原理 17 3.3.2 函数型主成分分析结果视图展示 20 3.4 实证研究 20 3.4.1 数据的采集 21 3.4.2 数据拟合 21 3.4.3 函数型主成分分析 23 3.5 本章小结 29 第 4 章 函数型线性回归模型 30 4. 1 函数型线性回归模型 30 4. 2 模型推断 30 4. 3 实证研究 32 4. 3.1 温度和玉米单位产量增值之间的关系 34 4. 3.2 拟合优度检验 40 4. 4 本章小结 40 第 5 章 含自回归误差项的函数型线性回归模型 42 5. 1 一些假设及证明 44 5. 2 模拟研究 46 5. 3 本章小结 48 第 6 章 总结与展望 49 参考文献 51 附 录 54 致 谢 58 摘要 函数型主成分分析及函数型线性回归模型的研究及应用 摘 要 随着科学技术的发展，涌现出了大量的复杂类型数据集，对于这类数据学者们 探索出一种新的数据处理方法，即函数型数据分析。函数型数据分析是将观测的数 据看作一个整体，而不是一串数据，这是传统的数据分析和函数型数据分析的主要 区别。 函数型主成分分析和函数型线性回归模型是常见的函数型数据分析方法，对 于这两者的研究已有一定规模，但都基于误差项独立同分布。然而在实际问题的分 析和研究中，我们收集的数据大多以时间序列的形式记录，经常会遇到自相关的现 象。因此本文主要研究含自回归误差项的函数型线性回归模型的斜率函数的估计， 使用函数型主成分分析方法得到模型中斜率函数的估计。 在函数型主成分分析方法的深刻认识中，收集了的 29 个主要城市的离散高温 数据，将其基于傅里叶基函数拟合成为光滑的曲线，而后对温度曲线进行主成分分 析，探讨高温天气的变化特征。结果显示，前四个主成分的累积贡献率超过 95%， 主成分函数显示了随时间连续变动的数据特征，结合实际对温度变动特征进行解 读，文中的数据结果使用R 软件编程所得。 在误差满足独立同分布的函数型线性回归模型的深刻认识中，以温度曲线为 函数型协变量，以玉米单位产量增量为标量响应变量，建立函数型线性回归模型。 利用函数型主成分分析将无限维的函数型数据转变为有限维的的得分向量，然后 对斜率函数进行估计，得到玉米产量增值的估计值，计算得平均相对误差为 0.02%。 根据斜率函数随时间的变动情况，分析温度对玉米单位产量增增值的影响。 基于对函数型主成分分析方法和函数型线性回归模型的理解，进一步探讨含 自回归误差项的函数型线性回归模型的斜率函数的估计，得到其收敛速度，并通过 模拟实验表明所提估计方法的表现。 关键词：函数型数据；函数型主成分分析；函数型线性回归模型；自回归误差项  ABSTRACT RESE