完整word版专题阿氏圆与线段和最值问题含答案.doc

专题：阿氏圆与线段和最值问题为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，)以阿氏圆(阿波罗尼斯圆. 对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要 具体内容如下：、A到两定点全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P阿氏圆定理(mmnn内分和外分定线段的距离之比等于定比点的轨迹，是以定比(≠1)，则PB的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发AB 现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的. 1)P点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型PA+kPB，(k≠ 1)P点的运动轨迹是圆或圆弧的题型PA+kPB,(k≠ ：构造母子三角形相似阿氏圆基本解法 半径CCA＝6，⊙°，Rt△ABC中，∠ACB＝90CB＝4，，在例题1、问题提出：如图1 的最小值．AP+BP为圆上一动点，连结为2，PAP、BP，求CB，在2，连接CP（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图 ∴．∽△BCPBCP，∴△PCD＝∠1上取点D，使CD＝，则有＝＝，又∵∠PCD ．+＝，∴PD＝BP，∴APBP＝AP+PD AP+BP ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 （2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD＝ ； 页 26 共 页 1 第 ，ACP，可证△PCD∽△上取点D，使CD＝，则有（2）连接CP，在CA AP+BP的最小值为BD；PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而得到，A＝2PPE6，连接、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EPOA（3）延长到点E，使CE＝ 三点共线时，得到最小值．、BPB＝EP+PB，当E、PP得到2A+ 1，【解答】解：（1）如图 ，连结AD 最小，，要使AP+BP＝∵AP+BPAP+PD +AD最小，，∴AP+AD最小，当点AP，D在同一条直线时，AP ，即：AP+BP最小值为AD 中，CD，＝6＝1，AC△在RtACD AD＝＝，∴ 的最小值为，故答案为：；+BP AP ）如图22，（ ，CDDCACP连接，在上取点，使＝ ∴， 页 26 共 页 2 第 ∵∠PCD＝∠ACP， ∴△PCD∽△ACP， ，∴ AP，∴PD＝ ，＝BP+PD∴AP+BP ＝）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝．1∴同（ 故答案为：； 3，（3）如图 ，CE＝6到点延长OAE，使 ＝12，∴OE＝OC+CE OP，连接PE、 ，∵OA＝3 ∴， ，＝∠AOP∵∠AOP OPE，OAP∴△∽△ ∴， A，P∴EP＝2 +∴2PAPB＝EP，+PB ．13＝三点共线时，取得最小值为：、、∴当EPBBE＝ 页 26 共 页 3 第 【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点． 例题2、问题背景 如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC． 问题初探 请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝ ，AC＝ ． 问题再探 如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长． 问题解决 求△ABC的面积的最大值． x+且2xx﹣x＜4则AC＝x，AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2【分析】问题初探：设 的值即可得出答案；的范围，在此范围内确定AC＞4，解之得出x ，据此知＝，＝b，证△DAC∽△DBA得＝AD问题再探：设CD＝a、 解之可得； ，由余弦mAB＝2m，根据面积公式可得S＝2问题解决：设AC＝m、则ABC△ 的取值范围，利用m，代入化简S＝，结合定理可得cosCABC△ 二次函数的性质求解可得． AB【解答】解：问题初探，设AC＝x，则＝2x， ∵BC，＝4 ，＞2且x+x4x∴2x﹣＜4 x＜，4解得：＜ ABACx取＝3，则＝3、＝6， 36故答案为：、； ，∠BD＝∠D，＝∠问题再探，∵∠CAD ，∽△∴△DACDBA 页 26 共 页 4 第 ＝，则＝ ，a、AD＝b设CD＝ ∴， ，解得： ＝；即CD m，问题解决，设AC＝m、则AB＝2 ，＝sinC2mBC