等离子体物理讲义07_磁约束与稳定性12.doc

等离子体物理学讲义 No. 7 马 石 庄 2011.03.14.北京 第7讲 磁约束与稳定性 教学目的:以磁流体为模型,研究作为受控核聚变基础的等离子体约束的稳定性问题,建立了描述理想磁流体稳定性的力算子及其能量原理,示意性地建立了压强驱动的交换不稳定和电流驱动的圆柱扭曲不稳定性的基本图景。 主要内容: §1 磁约束平衡 (3 1.1 环形磁约束 (4 1.2 Grad ‐Shafranov方程 (7 1.3 环向力平衡 (12 §2 线性稳定性方程 (16 2.1线性化 (16 2.2能量原理 (19 2.3简正模分析 (23 §3 理想MHD稳定性 (27 3.1 箍缩稳定性 (27 3.2 螺旋箍缩稳定性 (29 3.3 交换不稳定性 (36 磁约束问题人为地分成两部分:平衡问题和稳定性问题.平衡和稳定性之间的差别可以用力学模拟加以说明。图示出了静止在硬表面的一个弹子不同情形。平衡有与时间无关的解,小扰动是否被阻尼或被放大来决定平衡是稳定或是不稳定.在情形 ,只要不把弹子推出太远,它就处于稳定平衡.一旦运动超过阈值,就处于不稳定状态,这叫做“爆发性不稳定性”.在情形 ,弹子处于不稳定状态,但是,不能作非常大的偏移.如果运动振幅的非线性范围不大,这样一种不稳定性不是很危险的. §1 磁约束平衡 在平衡和稳定性这两个问题中,稳定性较容易处理,对偏离平衡态的小偏移,将运动方程线性化。而平衡问题是类似于扩散的非线性问题,对复杂的磁场位形,平衡计算是冗长的过程. 如图所示,考虑真空室中的聚变等离子体的平衡,磁场的作用是将等离子体与第一真空壁隔离,以维持热等离子体和较冷的外壁,在几种可能的数学解中,只有内部压强为正,壁上压强为零的是好约束。 第5讲已经探讨了 箍缩, 箍缩和螺旋箍缩的径向压强平衡。下面重点讨论环向力平衡问题。 1.1 环形磁约束 定性地说,环形结构中的MHD平衡有两类:径向压强平衡和环向力平衡。等离子体是一团芯部炽热的气体,沿小圆半径 方向向外膨胀的趋势。 箍缩和 箍缩以及二者结合的磁场形态,可以产生平衡所需的径向压强。径向压强平衡对于环形位形和直线位形的磁约束都是重要的。 环形力平衡问题完全由环形几何位形所致。环向磁场和极向磁场都势不可免地产生沿大圆半径 向外的推力。 等离子体环内的等离子体电流 产生的极型磁场比起等离子体环外部的磁场要强得多。在Tokamark平衡位形中,必须增加垂直的磁场减弱环内的极型磁场并增强环外部的极型磁场,如下图所示。下面估计所需的垂向磁场 。 磁力线方程 d d d d d 其中 d d d d 所有的磁力线位于磁面 const. 满足条件 · 0 图。磁面 .法向 和磁力线 在圆柱位形 , , 中,磁力线为 1 , , 1 1 对于轴对称系统 / 0,磁面为 , 满足条件 · ·0 在平移对称 / 0,磁面为 , 在螺线对称中, 是 和 的函数 , , , 其中 是螺旋箍缩参数。 约束完好的聚变等离子体的等压面是一组闭合的嵌套曲面,磁力线和电流密度线都位于其上。等离子体平衡是磁压强与磁张力共同作用的结果。 1.2 Grad ‐Shafranov方程 在环形约束中,在柱坐标系中 , , 中,定义磁面为 ,如图7.1,在轴对称系统中 , 图7.1磁面 和电流 磁场的分量为 1 , 1 因此, 也称作磁通量函数。 表面看来,MHD 平衡 1 既可以给定 求 ,又可以给定 求 。实际是做不到的,平衡只对具有某种对称性特定的位形可以做到,例如各种磁约束装置。 当用 , , 分别表示 , , 方向的单位矢量时,分别有 , 1 , 因此有 12 其中 , 成为极型通量, , 是,环型磁场 T 2 2 极型磁场 P 1 2 轴对称为极型磁场和环型磁场提供重要的联系 T 2 和 P 1 2 2 · 1 由Ampere定律, P T 1 P T 得到环型电流 T 2 · 1 和极型电流 P 1 代入平衡方程,得到 P T T P P P 由于轴对称性, P P 0,意味着 换言之, 必定与 平行, d d · ,d d · 因此可以定义 d d d · d · 电流 势必是 的函数 极型电流 P 因此平衡方程可以写为 · 1 1 1 · 1 也就是说 与 平行, ,因此得到 · 1 4 称为Grad-Shafranov方程。 T 2 2 总电流 P T 2 第二项称为“无力”电流,既然与磁场平行,对Lorentz力的贡献为零。Grad-Shafranov方程是一个非线性方程,一般得不到解析解。因为方程涉及 , , 是三个变量,需要给定其中两个,确定 第三个。一般是用实验数据给定 , ,求 。 下面考虑一个简单情形1,设 是 的线性函数 且 是均匀不变的 这意味着全部电流在 方