泰勒公式与函数的高阶多项式逼近.ppt

3.3 泰勒公式与函数的高阶多项式逼近 一 . 泰勒公式 ） 泰勒（ Taylor . , 1731 1685 英国 ? 附近时，有 在 可微，则当 在点 如果 0 0 ) ( x x x x f 问题的提出： ) ( ) )( ( ) ( ) ( 0 0 0 0 x x o x x x f x f x f ? ? ? ? ? ? 的线性近似 f ) ( x L , ) ( ) ( x L x f ? ? 所产生的误差是： ). ( 0 0 x x x x ? ? 高阶的无穷小 比 问题 : ) ( x p n 能否用高次多项式 ) ( ) ( ) ( : x P x f x R n n ? ? 使误差 . ) ( 0 阶的导数 点具有直到 在 设 n x x f , ) ( x f ? 可以估计！ 办法 : 尽可能 附近与 寻找一个在 ) ( 0 x f x : 次多项式 接近的 n n n n x x a x x a a x p ) ( ) ( ) ( 0 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ) ( x p n 怎样构造 很接近！ 与 附近 使得在 ) ( ) ( 0 x f x P x n ？ （如何确定它的系数） 0 x ) ( x f y ? o x y 分 析 ) ( ) ( 0 0 x f x P n ? ) ( ) ( 0 0 x f x P n ? ? ? ? ? ) ( ) ( 0 0 x f x P n ? ? ? ? ? ? ? 2. 若有相同的切线 3. 若弯曲方向相同 近 似 程 度 越 来 越 好 1. 若在 点相交 0 x n n n x x a x x a x x a a x p ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( x p y n ? ) , , 2 , 1 , 0 ( n k ? ? ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( x f x p k k n ? 如果 则 . ) ( ) ( 0 附近有较高的接近程度 在 与 x x f x P n ， 假设 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( x f x p k k n ? ) , , 2 , 1 , 0 ( n k ? ? n n n x x a x x a x x a a x p ) ( ) ( ) ( ) ( 0 2 0 2 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ), ( 0 0 x f a ? ), ( 1 0 1 x f a ? ? ? ), ( ! 2 0 2 x f a ? ? ? ? , ? . ) ( ! 0 ) ( x f a n n n ? ? ! ) ( 0 ) ( k x f a k k ? ? ) , , 1 , 0 ( n k ? ? n n n x x n x f x x x f x x x f x f x P ) ( ! ) ( ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( 0 0 ) ( 2 0 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 惟一确定！ 完全由 ) ( ) ( x f x P n . ) ( ) ( 0 次泰勒多项式 的 在 称为函数 n x x f x P n 定理 1 ） （泰勒中值定理 ) ( ) ( 0 x U x f 在 若函数 ，有 阶的导数，则 具有直到 ) ( 1 0 x U x n ? ? ? 2 0 0 0 0 0 ) ( ! 2 ) ( ) )( ( ) ( ) ( x x x f x x x f x f x f ? ? ? ? ? ? ? ? ) ( ) ( ! ) ( 0 0 ) ( x R x x n x f n n n ? ? ? ? ? ） （ 1 拉格朗日型余项 1 0 ) 1 ( ) ( )! 1 ( ) ( ) ( ? ? ? ? ? n n n x x n f x R ? 其中 ) ( 0 之间 与 介于 x x ? ） （ 1 点带有 在 式称为 0 ) ( x x f . 泰勒公式 拉格朗日型余项 的 证明略 有 时 特别，当 , 0 0 ? x ) 1 0 ( )! 1 ( ) ( ! ) 0 ( ) ( 1 ) 1 ( 0 ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n k n k k x n x f x k f x f 称为带有 拉格朗日型余项 的 麦克劳林公式 . 注意 : 即 时 ）中，当 在（ , 0 1 ? n ) )( ( ) ( ) ( 0 0 x x f x f x f ? ? ? ? ? ) ( 0 之间 与 在 x x ? 也