《圆的标准方程》课堂实录正式版.docVIP

《圆的标准方程》课堂实录 广州五中：冯洁瑜 教材内容：人教版必修二第四章第一节。 教学目标： 【知识目标】1、掌握圆的标准方程； 2、能根据条件求出圆的标准方程； 【能力目标】1、进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力； 2、加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用； 【情感目标】培养学生主动探究知识、合作交流的意识。 教学重点：圆的标准方程的应用； 教学难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程。 教具准备：课件、直尺、圆规。 学具准备：数学书、学案。 教学课时：1课时 教学过程： 一、复习引入 问：已知直线l的方程，试判断点A(1,1)，B（3，0）是否在该直线上。(点A在直线上，点B不在直线上。) 问：为什么方程能称为直线l的方程？ 小结：当点的坐标满足方程时，则该点在直线l上；反之，当点在直线l上时，则其坐标满足该方程。 （采用类比的教法为进一步学习“曲线与方程”的思想作好铺垫，让学生的迁移能力得到提高。） 二、公式的推导。 问:既然直线能用方程来表示，那么圆能不能也用方程来表示呢？（能） 问：如果能，那方程的形式将是怎样的呢？（出示课题：圆的标准方程） 问：圆的几何要素是什么？（圆心和半径大小） 教师在黑板上画出直角坐标系和一个圆，标出圆心A（a,b）和圆上动点M(x,y) 问：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。即MA=r，抓住这一个几何条件我们如何布列方程？（利用两点间距离公式获得） 教师在推导出圆的标准方程后， 问：看到这个方程我们就要知道它表示一个圆，它的圆心是什么？半径等于多少？（圆心是（a,b），半径是r。） 问：方程涉及到三个参数需要有几个独立条件来配合求出a,b,r？（3个） 三、直接应用，内化新知。 问：根据给出的圆的标准方程，说出圆心坐标及半径大小。 （1） (2) (3) （（2，3）, r=4; (-2,3),; (0,0),r=5） 【练习2】写出下列圆的标准方程： 圆心在C(0，0)，半径长是4 ； 小结：方程能表示一个圆心为(0,0),r=5的圆，是因为满足方程的解为坐标的点在圆上，反之，在圆上的点的坐标也满足方程。例如（3，4），（0，5）等等。） （3）圆心在C（8，-3），且经过点M（5，1） 问：如何处理第（3）小题？（利用两点间距离公式求出半径MC的长度，或是利用待定系数法来求出半径。） 四、加强应用，提升能力。 例1写出圆心为A（2，-3），半径长等于5的圆的方程，并判断点B（5，-7），C（），D(0,2)是否在这个圆上。若点不在圆上，请指出该点是在圆内还是圆外。 问：点B（5，-7），C（），D(0,2)是否在这个圆上。（点B在，点C，D不在。） 问：点C，D是在圆内还是在圆外呢？（点C在圆内，点D在圆外。） 问：为什么？（把点C的坐标代入方程的左边，得到925；把点D的坐标代入方程的左边，得到2925。） 问：那么点M(x0,y0)在圆上、内或外的条件是什么？（若点在圆上，则；若点在圆内，则；若点在圆外，则 。） （例1源于课本例题，但稍为做了一些改动。其目的是为了减少运算量，让学生容易从代数角度判断点与圆的位置关系，为学生探究点M(x0,y0)在圆内或外的条件做好准备。） 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A（5，1）， B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。 问：圆的标准方程涉及到三个参数需要有几个独立条件来配合求出a,b,r？（3个） 引导：点在圆上，则其坐标满足圆的方程。 于是学生列出三元二次组 ① ② ，然后就显得有些束手无策。 ③ 问：如何解二元一次方程组的？（消元） 问：那么解三元二次方程组同样也用消元法求解。你们先看看哪个元最容易消去？（） 于是学生将方程相减，①-②后得到方程， 问：如何化简此方程？（移项后可借用完全平方和差公式或平方差公式来化简。） 在学生自行算出答案后，教师作出归纳：由于圆的标准方程含有三个参数 a，b，r，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆。 （例2的设计是要用代数的方法解决几何问题。） 练习3 已知⊿AOB的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),O(0,0),求⊿AOB外接圆的方程。 由于处理例2能落实好重难点，因此大部分学生在面对练习3时能迅速列出三个方程，① ② ③ 问：如何消元？（①-③，②-③最快。） 问：还有其他方法吗？（一学生举手回答：可利用几何图形的特点简化计算，⊿AOB是一个直角三角形，其外接圆的圆心在斜边的中点上，从而很快就可以算出圆心坐标及半径大小。） 总结归纳：求圆的标准方程可用待定系数法来求出圆心坐标和半径