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2010年同济大学自主招生数学试题
1. 若奇函数满足，则__________.
2. 设、都是公差为的等差数列，其首项、满足：，、.设，则数列的通项__________.
3. 若多项式，则__________.
4. 记等差数列的前项和为.设、、为三角形的三个顶点.点在直线上.若，则__________.
5. 若圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，则直线的斜率的取值范围是__________.
6. 已知平面，点，点，与平面、所成角分别为、，点、在平面、的交线上的垂足分别为、，则线段与的比值为__________.
7. 如图，四面体中，和为对棱.设，，且异面直线与间的距离为，夹角为.
⑴若，且棱垂直于平面，求四面体的体积；
⑵当时，证明：四面体的体积为一定值；
⑶求四面体的体积.
8. 如图，已知动直线经过点，交抛物线于、两点.坐标原点是的中点，设直线、的斜率分别为、.
⑴证明：；
⑵当时，是否存在垂直于轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
9. 设矩阵，并且，数列满足.
⑴求；
⑵设，求数列的通项公式；
⑶在什么条件下数列存在极限？并求此时的极限.
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