基本不等式知识梳理.docxVIP

基本不等式 【考纲要求】 1. 了解基本不等式 a b 并掌握定理中的不等号 “≥” ab 的证明过程， 理解基本不等式的几何意义， 2 取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2. 会用基本不等式 a b ab 解决最大（小）值问题 . 2 会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题【知识网络】 重要不等式 a2 b2 2ab 基 基本不等式 a b ab 本 2 不 等 最大（小）值问题 式 基本不等式的应用 【考点梳理】 考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式： 如果 a,b R ，那么 2 2 （当且仅当 a a b 2ab = . b 时取等号“ ”） 2．基本不等式： 如果 a,b 是正数，那么 a b ab （当且仅当 a b 时取等号“ =”）. 2 要点诠释： a2 b2 2ab 和 a b ab 两者的异同： 2 （ 1）成立的条件是不同的：前者只要求 a, b 都是实数，而后者要求 a, b 都是正数； （ 2）取等号“ =” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 a b 时取等号”。 （ 3） a2 b2 2ab 可以变形为： ab a2 b2 ， a b ab 可以变形为： ab ( a b ) 2 . 2 2 2 3. 如图， AB 是圆的直径， 点 C 是 AB 上的一点， AC a , BC b ，过点 C 作 DC AB 交圆于点 D， 连接 AD、 BD. 第1页 共9页 易证 Rt ACD ~ Rt DCB ，那么 CD 2 CA CB ，即 CD ab . 这个圆的半径为 a b ，它大于或等于 CD ，即 a b ab ，其中当且仅当点 C 与圆心重合， 即 a b 2 2 时，等号成立 . 要点诠释： 1. 在数学中，我们称 a b 为 a,b 的算术平均数，称 ab 为 a, b 的几何平均数 . 因此基本 2 不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 2. 如果把 a b 看作是正数 a, b 的等差中项， ab 看作是正数 a, b 的等比中项，那么基本不等式可以 2 叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 考点二：基本不等式 a b ab 的证明 2 几何面积法 如图，在正方形 ABCD 中有四个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为 a 、 b ，那么正方形的边长为 a2 b2 。这样， 4 个直角三角形 的面积的和是 2ab ，正方形 ABCD 的面积为 a2 b2 。由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所 以： a2 b2 2ab 。当直角三角形变为等腰直角三角形，即 a b 时，正方形 EFGH 缩为一个点，这时 有 a2 b2 2ab 。 得到结论：如果 a,b R + ，那么 a2 b2 2ab （当且仅当 a b 时取等号“ =”） 特别的，如果 a 0 ， b 0, 我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ，可得： 如果 a 0 ， b 0 , 则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“ =”） . 通常我们把上式写作：如果 a 0， b 0 , a b ab ，（当且仅当 a b 时取等号“ =”） 2 代数法 ∵ a2 b2 2ab (a b)2 0 ， 当 a b 时， (a b)2 0 ； 第2页 共9页 当 a b 时， (a b)2 0 . 所以 (a2 b2 ) 2ab ，（当且仅当 a b 时取等号“ =”） . 特别的，如果 a 0 ， b 0, 我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ，可得： 如果 a 0 ， b 0 , 则 a b 2 ab ，（当且仅当 a b 时取等号“ =”） . 通常我们把上式写作： 如果 a 0 ， b 0 , ab a b = . 2 要点三、用基本不等式 ab a b 求最大（小）值 2 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件： 一正二定三取等 。 ① 一正： 函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定： 函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等： 函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点四、几个常见的不等式 1） a 2 b2 2ab a, b R 2） a b ab a,b R 2  ，当且仅当 a=b 时取“ =”号。 ，当且仅当 a=b 时取“ =”号。 3） a b 2 a b 0 ；特别地： a 1 2 a 0 ； b a a a 2 b 2 a b 2ab 4） 2