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“专升本”模拟试题一（解答） 课程名称：《高等数学》(理工类) 考试时间120分钟 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 总分人 得分 21 得分 21分 评分人 一、单项选择题(8个小题，每小题3分，共24分) 1. =【 C 】√ (A) - 0； (B) ； (C) ； (D) ； 2．设函数在可导，则【 A 】 √ (A)；(B)；(C)为任意常数；(D)为任意常数； 3．已知，则【 D 】√ (A) (B) (C) (D) 4．广义积分 【 C 】 √ (A) 发散 (B) (C) (D) 5．函数的极小值为在【 B 】时取得。√ (A) 1； (B) ； (C) ； (D) ； 6．设，则在处有【 D 】 ×， A (A) 在不连续； (B) 在偏导数不存在 (C) 在连续且偏导数存在但不可微； (D) 在可微 （在时，的极限不存在） 7．级数 ①， ② ③中收敛 的级数有：【 C 】√ (A) ① (B) ② (C) ②③ (D) ①②③ 8. 行列式的值为：【 C 】 √ (A) 0 (B) 2 (C) (D) 得分 8分 评分人 二、填空题(5个小题，每题4分，共20分) 9．若，则 1 ， 0 ；√ 10．设函数由参数方程所确定，则= ；× 解： 11．= 1/2 ；× 解： 12. 曲线在点的切线方 程是： (x-1)/5=(y-2)/4=(z+1)/10 ；× 解 ：令， 所以可取 所以可取 直线的方向向量可取： 所求切线方程为： 13．以为通解的微分方程是： y’=3(1/x)y ； √ 解： 一阶线性齐次方程 的解为： 观察此题可知，应为一阶线性齐次方程的解。 此处 ， 即， 从而 所以 ， 微分方程为： 三、计算证明题(7个小题，每题8分，共56分，要求有必要的解题步骤) 14．过点作直线的垂面，求点到直线的距离； 解 过点作平面垂直于已知直线，平面的方程为 ，即 ． 下面求直线与平面的交点，的长就是到的距离。 将的方程转化参数方程，联合平面方程得 ， 即 ． 将代入的参数方程中得：，，． 即点坐标为 ． 点到的距离 ． 计算二重积分：；其中是由直线和曲线及轴所围成的积分区域． -1/2[(e^-1)-1} √ 解： 积分区域如右图 积分区域用不等式组可表示为 ． 求微分方程的通解：； 解：对应齐次方程的特征方程为 . 特征根 . 所以, 对应齐次方程通解为：. 原方程变为： 现分别求方程和的一个特解。 对于方程，由于这里 是二重特征根，可设其特解为 则 将 、、代入方程得 化简得 比较系数得，从而， 方程，的一个特解为 对于方程，由于这里 不是特征根，可设其特解为 则 将 、、代入方程得 化简得 比较系数得，从而，， 方程，的一个特解为 故方程，的特解为 因此 原方程组的通解为： 求级数 的和函数。 解：因为 ， 级数 ， 令， ， ， =， ， 所以 . 当参数为何值时，非齐次方程组 有解？当它有解时，求出通解。 解： 当 ，即时，系数矩阵与增广矩阵的秩相等。 所以当时，原方程组有解。此时 简化后的阶梯形矩阵对应的方程组为 即 ， 这里为自由未知量。 取得，，； 得原非齐次方程组的一个特解： 简化后的阶梯形矩阵对应的齐次方程组为 即 ，这里为自由未知量。 取得，, ； 于是得到对应齐次方程组的一个基础解系： 因此所给原非齐次方程的通解为： ，其中为任意常数。 设在上连续，在内可导，且，，证明：存在，使得； 证明： 设 ，则 由于在[0,2]上连续， 从而在上连续。 因此 在上连续。又 ； 根据方程根的存在定理知： 在(1,2)内至少存在一点，使 由于在上连续，在内可导。 从而在上连续，在内可导。 所以 在上连续，在内可导。 又 所以 因此在上满足罗尔定理的条件 所以 内至少存在一点，使 即 由于 因此存在，使得。 设有一高度为的谷堆，其侧面满足方程，求该谷堆的侧面积与体积； 解：令 得谷堆的底面边界曲线： 谷堆的底面区域为 谷堆的底面区域的可在极坐标系下表示为： 由于的谷堆的侧面方程为： ， 由谷堆的侧面