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数学建模中的
层次分析法
层次分析法简介
层次分析法是萨蒂(saty)等人20世纪
70年代提出的一种决策方法。它是将半
定性、半定量问题转化为定量问题的有
效途径,它将各种因素层次化,并逐层
比较多种关联因素,为分析和预测事物
的发展提供可的定量依据。
层次分析法在决策工作中有广泛的应用。
主要用于确定综合评价的权重系数。层
次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
尽次分析法f介
层次分析法基本原理
分解
建立
实际问题
多个因素
层次结构
确定诸因素的相计算
判断
对重要性
权向量
综合决策
二、层次分析法基本步骤
确定权系数
设x1x2yxn为对应各因素的决策变量。
其线性组合:
y=W1X2+W2X2+…+wnX
是综合评判函数。
w1,w2,…w是权重系数,其满足:
W:≥0
对权重系数的量化过程
(1)成对比较
从x1x2xn中任取x与x;比较它们对于y贡献
(重要程度)的大小,按照以下标度给赋值:
x/x=1,认为“x与X重要程度相同”
x/x=3,认为“x比x重要程度略大”
x/x=5,认为“x比x重要程度大”
x/x=7,认为“x1比x重要程度大很多”
x/x=9,认为“x比x重要程度绝对大”
当比值为2,4,6,8时认为介于前后中间状态。
(2)建立逆对称矩阵
由x/x建立n阶方阵A
(3)迭代
按下列方法求向量迭代序列:
e=(1/n1/n….1/n)r
ek=Aek1le.Aek1的n个分量之和
e=e/,l. k=1. 2
数列{e1}是收敛的,记其极限为e且
记
e=(a1a2…an
于是取权重系数w=a1
例1:评价影视作品
在电视节上评价影视作品,用以下三个
评价指标:
x1表示教育性
表示艺术性
3表示娱乐性
有一名专家经成对,赋值:
Xx2=1x1x3=1/5x2/x3=1/3
于是得到逆对称矩阵
A
3
0.733
=Aen=0.788
4.511
0.733(0.162
e、4/0.788|=0.172
3
0.665
0.467
0.155
=|0565112-=3014a2=|0184
1.991
0.661
0.471
0.156
e3=055914-=3018a=0185
1.998
0.659
0.473
0.156
|05611=308.;=|0185
994
0.659
由于e4=e3,迭代经过4次中止,权系数是
W1=0.156,W,=0.185,W3=0.659
相应的综合评价公式是
Y=0.156X1+0.185x2+0.659x3
如果用同样的分制来给作品的三个指
标评分,由以上公式算出的便是作品综
合评分y。
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