定义平行四边形法则.ppt

几何学 第一章向量代数 主讲:戴时勋副教授 第一节向量的基本概念 一、基本概念 定义既有大小又有方向的量称为向量。如力、速度、位移等. 在几何上,一般用带箭头的线条表示向量,箭头表示向量的方向 线条长度代表向量的大小;向量的大小又叫向量的模或向量的长度. 始点为A,终点为B的向量,记作AB其模记做B 在书写时,除了上面的表示方法外,我们一般也用小写黑体字母 ab,C…或者用带箭头的小写白斜体字母如a,b,c,…等表示向量, 而用希腊字母A、v等表示数量 2零向量和单位向量模等于0的向量叫零向量,以O记之.零向量 可以理解为始点和终点重合的向量,因而其方向不确定,或者方向是任意 的 模等于1的向量称为单位向量特别地,与非零向量a同向的单位向量 记作o 3.反向量与向量a模相等但方向相反的向量称为a的反向量,记作 a,显然-AB=BA,-(-)=,零向量的反向量还是其自身 4.相等向量如果向量a和向量b方向相同模也相等,则称它们是相等的 5.自由向量在向量相等的意义下,空间的向量可以自由地平行移动而 不改变 6两个向量的夹角 规定O≤7的角为它们的夹角所以O∈[0,x],同向O为零反向O为兀 7.共线向量如果所在直线平行于b所在直线,则称记作与b 平行记为/b.规定零向量平行于任何向量平行b时,也说它们共线 8.共面向量平行于同一平面的一组向量称为共面向量可见,任意两 个向量总是共面的,零向量与任何共面向量组共面 二、向量的加、减法 1.加、减法的定义 定义1(三角形法则)设已知向量a,b,以空间任一点O为始点作向量 OA=a,AB=b,得一折线OAB,则向量c=OB叫做向量与b的和 向量,记作C=a+b.如图 定义2(平行四边形法则)设OA=a,AB=b,以OA和OB为边作 一平行四边形OACB,取对角线向量OC,记C=OC,称C为与b 的和向量,记作C=a+b如图122, A (图1.2-2) 三角形法则和平行四边形法则是等价的,一个可以推导出另一个 2.向量加法具有下列运算规律 ①交换律 atb=bta ②结合律(a+b)+c=a+(b+c) 很容易得到 a+0 q+(-a)=0 利用向量与其反向量的的和来定义向量的减法 3.向量的减法 定义:a-b=a+(b 由三角形法则可看出:要从C减去b,只要把与b长度相同而方 向相反的向量-b加到向量C上去由平行四边形法则,可如下作出向量 a-b 要点:要在图上作出a-b,只需把和b归结到共同的起点,然 后从C的终点到b的终点作一个向量即可 对于任意两个向量,下面的三角不等式成立 la+bklaltlb 需要注意的是,式中等号成立的条件是三角形ABC中三个顶点共线 这在平面几何中是不会出现的,因为三个顶点共线时,人们不认为构成 的图形是三角形 三角不等式可以推广到任意有限多个向量的情形: a1+a2+…+an图a1|+a2|+…+|an 例1设互不共线的三向量、b和C,试证明顺次将它们的终点与始点 相连而成一个三角形的充要条件是它们的和是零向量 证必要性设三向量a,b,C,可以构成三角形ABC,即有 AB=a, Bc=b, CA=c 那么, AB+BC+CA=o a tbtc=0 充分性设a+b+C=0,作AB=a,BC=b那么AC=a+b, 所以AC+c=0,从而C=CA,所以ab,C可以构成 三角形ABC