北京航空航天大学线性代数2015工科高代期末考试题答案.docx

PAGE PAGE 8 2015—2016学年第一学期期末考试 考试统一用答题册 考试课程 工科高等代数 A  班 级 学 号 姓 名 成 绩 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 成绩 阅卷人签字 校对人签字 2016-1-14 姓 名______________学 号 _________ A 一. 选择题 (每题2分，共22分） 1. 设A为()矩阵，则秩R(A)=( d )时，方程组只有零解. a．; b．1; c．m; d． 2. 设T是上的线性变换，，那么T在基下的矩阵为 ( c ) a．; b．; c．; d．T是可逆的 3. 若3阶阵的行列式||=1, 则（ c ） a．2 ; b． 1; c． 3 ; d． 4. 的一个极大无关组为（ c ） a．v1 ; b．v1，v2，v3 ; c．v1，v2或v1，v3; d．v2，v3 5. 若A是n阶实方阵，x是中的列向量, 则 xTATAx =（ d ） a．长度|Ax|； b．正数; c．长度|x|; d．|Ax| 2 6. 为实矩阵,下列说法正确的是( a ) a．秩; b．不对称; c.为正定; d． 7. 设A=Am?n为矩阵，令，则( c ). a．; b．; c．; d． 8. 设分别是m阶与n阶方阵，则行列式（ a ） a. ; b. ; c. 0; d. 9. 实对称阵A为正定阵的充分必要条件是( a ) a．A的全体特征根为正数； b．A可逆； c．|A|为正； d．A满秩 10. 设A为n阶正交阵，下列说法正确的是( a ) a．; b．AT =(伴随阵); c．; d． 11. 二次型是（ b ） a. 正定二次型；b. 半正定二次型； c. 负定型； d. 不定型 二. 填空题 (每题2分，共8分） 1. 设为3阶矩阵，则行列式 __0__ 2. 设3阶阵的特征根是, 则 =__ 3. 已知是正定矩阵，且满足条件，则实数满足条件 4. 设E是n阶单位矩阵， , 则___ 三. 判断题 (每题1分，共12分) (正确的在括号内打“√”，错误的在括号内打“Х”) 1. 的基础解系为 {}. （ √ ） 2. 初等变换不改变矩阵的秩. （ √ ） 3. 若有定义,是多项式，则 √ 4. n阶方阵的行列式||=0 R() n 有非零解. ( √ ) 5. 若方阵相似，则有相同的特征向量. ( Х ) 6. 正交变换在任意一组基下的矩阵是可逆阵. ( √ ) 7. 若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量, 则A必可对角化. ( √ ) 8. 设3阶可逆阵的特征值是，则的特征值是. ( √ ) 9. 若向量可由线性表示, 则一定线性相关. ( √ ) 10. 设 则 ( √ ) 11. 若矩阵，则. ( Х ) 12. 若n元方程组Am?n x=0只有零解, 则Am?n x= b必有唯一解. ( √ ) 四. 计算下列各题（每题8分，共24分） 1. 给定的子空间的基和子空间的基，其中 (1) 求的维数并求出一组基. (2) 求的维数并求出一组基，并将它扩充为的一组基. 2. ，(1) 把A分解为列向量与行向量的积，并计算； (2) 求A的全体特征值；(3) 求出3个互相正交的特征向量. 3. ，(1) 求A的特征多项式与特征值；(2) 求； (3) 利用求出的伴随阵. 五. 求解下列题目 (每题5分，共10分) 1. 设R4中列向量v1, v2, v3, v4, v5 ,矩阵A = ( v1, v2, v3, v4, v5 ), 已知： . 求向量组v1, v2, v3 , v4, v5 的一个极大无关组，并用它表示向量v5与v3. 2. 设是4元非齐次方程组AX＝b的三个解向量，且秩, ，分别求AX＝0与AX＝b的通解. 六. (12分) . (1) 求特征多项式; (2) 求正交阵P, 使为对角阵; (3) 用正交变换x =Py把二次型化为标