极限与连续21极限的概念——数列的极限教学目的树立极限.doc

第二章　极限与连续 2.1　极限的概念——数列的极限 教学目的：树立极限思想，正确理解数列极限的定义，并能用不等式语言叙述简单数列的极限。理解数列收敛与性质之间的关系，初步学会建立知识间的横向联系。 教学重点：数列极限定义。 教学难点：数列极限定义 教学方法：启发讲授式＋探究式（渗透合情推理——观察、实验、类比、归纳的思想方法） 教学过程： 数列的极限 上节已经指出，微积分是研究函数为对象的一门学科。那么，它是用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限。从方法论来说这是微积分区别于初等数学的显著标志。微积分中几乎所有的概念（如导数、微分、积分、级数等）都离不开极限。也可以说，极限概念贯穿于微积分的始与终。因此，极限概念是微积分的重要概念，极限理论是微积分的基础理论。虽然在中学我们都不同程度地学习过极限，那么从本章开始我们将系统地学习极限的概念（包括定量定义），运算和性质。 极限概念是由于求某些问题的精确解答而提出的。早在公元263年，我国杰出的数学家刘徽在计算圆的周长中创立并使用了极限方法——称之为“割圆术”。他为了定义和计算圆的周长（曲边形不会算），设想用直边形去逼近（而直边形是可以计算的）。他用正6边形、12边形、24边形……192边形（）。“割之弥细，所失弥少”，即，边数越大，近似程度愈好。但是无论边数怎样多，只要是有限数，它永远是圆的近似值。而我们需要的是圆周长的精确值，因此，当“割之又割，以至于不可割”，即让边数无限增多（记）则“与圆合体无所失矣”。近似值向精确值进行了转化，从而求得圆的周长。 刘徽的“割圆术”给了我们一个重要启示：在有限的过程中，只是解决了圆周长近似值的计算问题，而在无限的过程中，则近似值向精确值进行了转化。因此，未知与已知，直与曲，近似与精确，既有差别又有联系，但在无限的过程中，则可以由此达彼。虽然我们的极限思想建立较早，但形成严密的理论，则是在19世纪柯西（法国数学家）等人完成。 与极限概念有着紧密联系的是函数的连续性。在第一章中，我们从几何直观入手，给出了连续性的定义，作为极限的直接应用，在本章的后几节中，我们将进一步研究函数连续性的有关性质以及初等函数的连续性等。 （一）、数列及性质： 1.数列的概念： 按照一定规律排成的一列数：或简记为称为数列。其中每一个数称为数列的项，第项称为数列的通项。 数列也可以看成是定义在全体正整数集上的函数，即，或 例1：： 2：： 3：： 4：： 5：： 6：： 2.数列的性质 、有界性： 定义1.设有数列，若存在正数，使得对一切，都有，则称数列有界，称为的一个界。若这样的正数不存在，则称数列无界。 （逻辑语言，数列有界有） 特殊：对数列，若存在数，使得对一切都有（或），则称数列有下界（或有上界），为的一个上界（或下界）（逻辑语言，数列有上（下）界有（或）） 从上面的分析得知，一个数列有界的充要条件是既有上界又有下界。 在几何上，有界数列在数轴上所对应的点列全部落在闭区间上。 、单调性： 定义2.设有数列，若对于任意有（或），则称数列单增（或单减），单增或单减数列统称为单调数列。 在几何上，单调数列在数轴上所对应的点列都随着的增加朝一个方向移动，单增数列向右方移动，单减数列向左方移动。 （二）数列的极限 在初等数学里，研究的数列不外乎求通项和前项和，而在高等数学中是从另一个角度研究数列的，而当自变量无限增大时，数列的变化趋势，并给出其精确的定义 1.考察：数列 （1） 当无限增大时的变化趋势？ 1 2 3 41观察：当无限增大时（记），无限趋近于 1 2 3 4 1 （记）如图2.1 实验： 结论：数列有一个稳定的变化趋势，而时，数列。数就是数列的极限。 这种结论是观察实验得到的，也是在中学里接触到极限的描述性定义，因为上述的“无限增大”，“无限接近”只是对数列变化趋势的一种形象描述，即只是定性说明，这样在数学中是不能进行严谨论证的，而数学中需要的定量化定义，即 用符号进行说明的数学语言，下面我们必须把这种定性的描述，上升为量化定义（精确定义） 首先必须明确下列问题：， 问题1：何谓？ 中学里比较两个数的接近程度是用来刻化。同理也用第项与的距离来说明，即的距离能任意小，并保持任意小 问题2：何谓的距离能任意小，并保持任意小 例如：1）对欲使，只需第即可，（取），即第项以后所有项，都满满足这个不等式 2）对，欲使只需即可（取），对第项以后的所有项都满足 3）对，欲使只需即可（取），当项以后的所有项都满足这个不等式 问题3：尽管对分别能做到：能否说明能任意小，并保持任意小？当然这是不行的，这是因为尽管是一个比一个小的正数，甚至可可以认为是非常小的数，但它们毕竟是确定的数！而刻划任意小，并保持任意小，上述确定的数是不能满足要求的，